問題
座標平面上に点があり，はの範囲を動く．また，点の座標は連立1次方程式の解になっている．ただし，，，である．
(1) 点が原点にあるときの点の位置を点とする．のとき，の最大値を求め，その最大値を与える点の全体を図示せよ．
(2) の最小値と，その最小値を与える点の座標を求めよ．
出典：九州大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問(a)
方針
まず連立方程式を解いて を で表す。(1) は からの変位 を使い、 を二次式の比として最大化する。(2) は を の二次式として、正方形領域 上で最小化する。内部で0にできないことを確認し、境界を調べて最短点を決める。
解答
(1)
なので
である。したがって
である。よって である。 、すなわち のとき である。したがって であり、 のとき
ここで だから である。等号は のときに成り立つ。よって であり、最大値は である。
この最大値を与える点 は である。すなわち、正方形 内の直線 上の点から原点を除いたものである。
(2)
である。もし となるなら であり、これを解くと となる。しかしこれは領域 の外にある。
したがって正方形の境界を調べる。式を展開すると である。
境界 では で、 では のとき最小となり、値は である。他の境界を同様に調べると、これより小さい値は出ない。実際、点 では であり、 である。
よって であり、そのときの点 は である。