問題
座標平面上にを頂点とする正方形がある．ボールはこの正方形の中のすべての点に同様に確からしく落ちて，の部分に落ちれば当たりとする．ただし，とする．
(1) ボールを1回落とす．当たる確率を求めよ．
(2) 1回目は，2回目はとして，ボールを2回落とす．1回だけ当たる確率を求めよ．
(3) の値を変えずにボールを3回落とす．少なくとも1回は当たる確率が以上であり，当たりの数の期待値が以下になるようなの値の範囲を求めよ．
出典：九州大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(c)
方針
当たる確率は単位正方形内で を満たす部分の面積である。 では正になる範囲が 、 では正方形の幅全体 を積分する。(2)(3) は独立試行として、1回だけ当たる確率、少なくとも1回当たる確率、期待値を当たり確率 で表す。
解答
(1)
当たりの確率を とする。単位正方形の面積は1なので、求める確率は となる部分の面積である。
まず のとき、 となるのは である。したがって
次に のとき、正方形内では を考えればよく、この範囲で である。また最大値も1以下である。よって
したがって
である。
(2)
(1) より
である。2回の試行は独立なので、1回だけ当たる確率は
(3)
当たり確率を とする。3回落として少なくとも1回当たる確率は である。また当たりの数の期待値は である。条件は である。
第1の不等式は であり、 なので すなわち である。第2の不等式は である。したがって となればよい。
(1) の式を見ると、 では なので条件を満たさない。したがって で を解けばよい。これより である。