問題
2次の正方行列が零行列でなくをみたすとき，べき等行列という．次の問いに答えよ．
(1) 行列はべき等行列であり，かつとする．このとき，を求めよ．
(2) 行列はをみたすとする．このとき，がべき等行列であるための必要十分条件をとのみを用いて表せ．
(3) 行列，はともにべき等行列とする．がべき等行列になるとき，を求めよ．また，そのような，の組を1つあげよ．
方針
(1)は から逆行列を掛けて を得る。(2)は を4成分で書き、さらに を使って全成分に共通する因子 を取り出す。零行列でない条件から が必要になり、逆も直接確認する。(3)は(1)(2)でべき等行列を分類し、対角成分の和が なら2、それ以外なら1であることを使う。
解答
(1)
であるから、 には逆行列が存在する。 の両辺に左から を掛けると である。したがって
である。
(2)
とする。 を成分で書くと
である。また仮定より すなわち である。
これを上の4式に代入して整理すると
となる。 がべき等行列なら、定義より零行列ではない。したがって の少なくとも1つは0でないので、上の4式から が必要である。すなわち である。
逆に、 かつ とする。このとき であり である。同様に となるから が成り立つ。また なので零行列ではない。
よって必要十分条件は である。
(3)
まず(1)(2)から、べき等行列の対角成分の和を調べる。行列が なら対角成分の和は である。 でないべき等行列は、(1)より行列式が0であり、(2)より対角成分の和は である。
ここで、もし なら である。一方 なので、 がべき等行列なら となり を得る。これは がべき等行列であることに反する。したがって である。同様に である。
よって と はどちらも対角成分の和が である。したがって の対角成分の和は である。 はべき等行列である。もし なら、上で見た分類により対角成分の和は でなければならない。しかし実際には であるから矛盾する。したがって である。
実際にそのような例として
を取れば、、、かつ である。