九州大学 2002年度理系数学第1問解答・解説

問題

平面上を運動する点 $P (x, y)$ の時刻 $t$ での $x$ 座標と $y$ 座標が

x = \frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2}, y = \frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2}

で表されている．ただし， $e$ は自然対数の底である．原点を $O$ ，点 $(0, 1)$ を $M$ とする． $t$ が $t ≧ 0$ の範囲で変化したとき，点 $P$ が描く曲線を $C$ とする．時刻 $t$ において，曲線 $C$ ，線分 $O M$ ，および線分 $O P$ で囲まれる図形の面積を $A (t)$ で表し，曲線 $C$ と線分 $M P$ で囲まれる図形の面積を $S (t)$ で表す．次の問いに答えよ．

(1) 点 $P (x, y)$ の座標 $x$ ， $y$ に対して $y$ を $x$ を用いて表せ．

(2) 時刻 $t$ を用いて $A (t)$ と $S (t)$ を表せ．

(3) $A (t) - S (t)$ が最大となる時刻 $t$ を求めよ．

出典：九州大学 2002年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

まず $x = (e^{t} - e^{- t}) /2$ 、 $y = (e^{t} + e^{- t}) /2$ から $y^{2} - x^{2} = 1$ を出し、 $t ≧ 0$ より $x ≧ 0$ 、 $y ≧ 0$ を確認する。面積 $A (t)$ は曲線 $y = x^{2} + 1$ と直線 $O P$ の差の積分で求め、三角形 $O M P$ の面積が $A + S$ であることから $S$ を得る。最大値は $A - S$ を微分し、 $u = e^{t}$ の2次方程式に落として決定する。

解答

(1)

与えられた式から

y^{2} - x^{2} = (\frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2})^{2} - (\frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2})^{2} = 1

である。さらに $t ≧ 0$ では $x ≧ 0$ 、 $y > 0$ であるから $y = x^{2} + 1 (x ≧ 0)$ である。

(2)

時刻 $t$ における点 $P$ を $P = (a, b), a = \frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2}, b = \frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2}$ とおく。 $t > 0$ のとき直線 $O P$ は $y = \frac{b}{a} x$ である。

したがって $A (t)$ は $A (t) = \int_{0}^{a} (x^{2} + 1 - \frac{b}{a} x) d x$ である。ここで

\int_{0}^{a} x^{2} + 1, d x = \frac{1}{2} (a a^{2} + 1 + lo g (a + a^{2} + 1))

を用いる。 $b = a^{2} + 1$ だから

A (t) = \frac{1}{2} (ab + lo g (a + b)) - \frac{b}{a} \cdot \frac{a ^{2}}{2} = \frac{1}{2} lo g (a + b) .

さらに $a + b = e^{t}$ であるから $A (t) = \frac{t}{2}$ である。 $t = 0$ のときも極限、または図形がつぶれることから同じ式が成り立つ。

次に、三角形 $O M P$ の面積は、底辺 $O M = 1$ と点 $P$ の $y$ 軸からの距離 $a$ を用いて $\frac{a}{2}$ である。この三角形は、曲線 $C$ によって面積 $A (t)$ の部分と $S (t)$ の部分に分かれるので $A (t) + S (t) = \frac{a}{2}$ である。よって $S (t) = \frac{a}{2} - \frac{t}{2} = \frac{1}{4} (e^{t} - e^{- t}) - \frac{t}{2}$ となる。したがって $A (t) = \frac{t}{2}, S (t) = \frac{1}{4} (e^{t} - e^{- t}) - \frac{t}{2}$ である。

(3)

(2)より $A (t) - S (t) = t - \frac{1}{4} (e^{t} - e^{- t})$ である。これを微分すると $(A - S)^{'} (t) = 1 - \frac{1}{4} (e^{t} + e^{- t})$ となる。 $(A - S)^{'} (t) = 0$ は $e^{t} + e^{- t} = 4$ と同値である。 $u = e^{t}$ とおくと $u ≧ 1$ であり $u + \frac{1}{u} = 4$ すなわち $u^{2} - 4 u + 1 = 0$ である。したがって $u = 2 + 3$ を得る。 $t = 0$ では $(A - S)^{'} (0) = 1 - 1/2 > 0$ であり、上の点を過ぎると $e^{t} + e^{- t}$ はさらに大きくなるので導関数は負になる。よって最大となる時刻は $t = lo g (2 + 3)$ である。

九州大学 2002年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2002年度
理系数学第1問