九州大学 2002年度理系数学第4問(a) 解答・解説

問題

空間内の図形について次の問いに答えよ．

(1) $△ A B C$ の面積は， $\frac{1}{2} ∣ A B ∣^{2} ∣ A C ∣^{2} - (A B \cdot A C)^{2}$ に等しいことを示せ．ここで， $A B \cdot A C$ はベクトル $A B$ とベクトル $A C$ との内積を表す．必要ならば，2つのベクトルのなす角のコサインと内積の関係式を用いてよい．

(2) 右図の平行六面体 $A B C D - E F G H$ を考える． $∣ A B ∣ = ∣ A D ∣ = 1$ ， $∣ A E ∣ = 2$ とし， $∠ F B C = ∠ B C D = \frac{π}{2}$ ， $∠ E A B = θ$ とする．ここで $θ$ は $0 < θ < π$ なる定数とする．面 $E F G H$ 上に点 $P$ をとり，点 $P$ から辺 $E F$ 上に垂線 $P I$ を下ろし，点 $P$ から辺 $E H$ 上に垂線 $P J$ を下ろす． $x = ∣ E I ∣$ ， $y = ∣ E J ∣$ とするとき， $△ A C P$ の面積を $θ$ ， $x$ ， $y$ を用いて表せ．

(3) 問(2)で点 $P$ が面 $E F G H$ 上を動くとき， $△ A C P$ の面積の最小値を求めよ．

出典：九州大学 2002年度前期日程第2次学力試験理系第4問(a)

方針

(1)は内積と余弦の関係から、面積 $\frac{1}{2} ∣ A B ∣∣ A C ∣ sin ϕ$ を $sin^{2} ϕ = 1 - cos^{2} ϕ$ で書き換える。(2)は $A B, A D, A E$ の直交・角度条件を座標に置き、 $P = E + x A B + y A D$ と表す。面積公式に代入すると平方根内が1つの平方と定数にまとまる。(3)は $x - y \in [- 1, 1]$ の範囲でその平方を最小にする問題に帰着する。

解答

(1)

$A B$ と $A C$ のなす角を $ϕ$ とする。三角形の面積は $\frac{1}{2} ∣ A B ∣∣ A C ∣ sin ϕ$ である。

また内積の定義より

A B \cdot A C = ∣ A B ∣∣ A C ∣ cos ϕ

である。したがって

4 (面積)^{2} = ∣ A B ∣^{2} ∣ A C ∣^{2} sin^{2} ϕ = ∣ A B ∣^{2} ∣ A C ∣^{2} (1 - cos^{2} ϕ) = ∣ A B ∣^{2} ∣ A C ∣^{2} - (A B \cdot A C)^{2} .

よって

面積 = \frac{1}{2} ∣ A B ∣^{2} ∣ A C ∣^{2} - (A B \cdot A C)^{2}

である。

(2)

$A$ を原点に取り、 $A B = (1, 0, 0), A D = (0, 1, 0)$ とおく。条件 $∠ B C D = π /2$ から $A B ⊥ A D$ 、条件 $∠ F B C = π /2$ から $A E ⊥ A D$ である。また $∣ A E ∣ = 2$ 、 $∠ E A B = θ$ なので $A E = (2 cos θ, 0, 2 sin θ)$ とおける。

点 $P$ は面 $E F G H$ 上にあり、 $x = E I$ 、 $y = E J$ であるから

P = E + x A B + y A D = (x + 2 cos θ, y, 2 sin θ)

である。また

A C = (1, 1, 0), A P = (x + 2 cos θ, y, 2 sin θ)

である。

(1)の公式を使うと $∣ A C ∣^{2} = 2$ であり、 $∣ A P ∣^{2} = (x + 2 cos θ)^{2} + y^{2} + 4 sin^{2} θ$ また $A C \cdot A P = x + y + 2 cos θ$ である。したがって面積を $T$ とすると

4 T^{2} = 2 {(x + 2 cos θ)^{2} + y^{2} + 4 sin^{2} θ} - (x + y + 2 cos θ)^{2} = (x - y + 2 cos θ)^{2} + 8 sin^{2} θ .

よって $T = \frac{1}{2} (x - y + 2 cos θ)^{2} + 8 sin^{2} θ$ である。

(3)

点 $P$ が面 $E F G H$ 上を動くとき $0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1$ である。したがって $- 1 ≦ x - y ≦ 1$ である。

(2)の式では $8 sin^{2} θ$ は一定であるから、面積を最小にするには $∣ x - y + 2 cos θ ∣$ を最小にすればよい。

もし $∣2 cos θ ∣ ≦ 1$ 、すなわち $∣ cos θ ∣ ≦ 1/2$ なら、 $x - y = - 2 cos θ$ とできる。このとき最小値は $\frac{1}{2} 8 sin^{2} θ = 2 sin θ$ である。

もし $2 cos θ > 1$ なら、 $x - y$ は最小の $- 1$ に取るのがよく、最小値は $\frac{1}{2} (2 cos θ - 1)^{2} + 8 sin^{2} θ$ である。

もし $2 cos θ < - 1$ なら、 $x - y$ は最大の $1$ に取るのがよく、最小値は $\frac{1}{2} (2 cos θ + 1)^{2} + 8 sin^{2} θ$ である。

したがって求める最小値は

⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} (2 cos θ - 1)^{2} + 8 sin^{2} θ 2 sin θ \frac{1}{2} (2 cos θ + 1)^{2} + 8 sin^{2} θ (0 < θ < π /3), (π /3 ≦ θ ≦ 2 π /3), (2 π /3 < θ < π)

である。

九州大学 2002年度理系数学 第4問(a)

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

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理系数学第4問(a)