九州大学 2002年度理系数学第3問解答・解説

問題

次の問いに答えよ．

(1) すべての正の実数 $x$ ， $y$ に対して，不等式 $x lo g x - x lo g y - x + y ≧ 0$ が成り立つことを示せ．ここで $lo g$ は自然対数を表す．

(2) $a$ ， $b$ は実数で $a < b$ とする．関数 $f (x)$ と $g (x)$ は閉区間 $[a, b]$ で正の値をとる連続関数で， $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} g (x) d x$ をみたす．このとき，不等式

\int_{a}^{b} f (x) lo g f (x) d x ≧ \int_{a}^{b} f (x) lo g g (x) d x

が成り立つことを示せ．

(3) $a$ ， $b$ は実数で $a < b$ とする．閉区間 $[a, b]$ で正の値をとる連続関数 $f (x)$ に対し正の実数 $M$ を $M = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ とする．不等式

\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) lo g f (x) d x ≧ M lo g M

が成り立つことを示せ．

出典：九州大学 2002年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

(1)は $y$ を固定して左辺を $x$ の関数と見て、導関数 $lo g (x / y)$ から最小値を調べる。(2)は(1)に $x = f (t)$ 、 $y = g (t)$ を代入して積分し、 $\int f = \int g$ で余分な一次項を消す。(3)は $g$ を平均値 $M$ の定数関数に取れば、(2)がそのまま平均の不等式になる。

解答

(1)

$y > 0$ を固定し、 $H (x) = x lo g x - x lo g y - x + y$ とおく。 $x > 0$ で $H^{'} (x) = lo g x + 1 - lo g y - 1 = lo g \frac{x}{y}$ である。

したがって $0 < x < y$ では $H^{'} (x) < 0$ 、 $x > y$ では $H^{'} (x) > 0$ である。よって $H (x)$ は $x = y$ で最小値をとる。その値は $H (y) = y lo g y - y lo g y - y + y = 0$ である。したがって、すべての正の実数 $x, y$ に対して $x lo g x - x lo g y - x + y ≧ 0$ が成り立つ。

(2)

閉区間 $[a, b]$ 上で $f (t) > 0$ 、 $g (t) > 0$ である。任意の $t$ に対して(1)を $x = f (t), y = g (t)$ として用いると $f (t) lo g f (t) - f (t) lo g g (t) - f (t) + g (t) ≧ 0$ である。

これを $t = a$ から $t = b$ まで積分すると

\int_{a}^{b} f (t) lo g f (t) d t - \int_{a}^{b} f (t) lo g g (t) d t - \int_{a}^{b} f (t) d t + \int_{a}^{b} g (t) d t ≧ 0

となる。仮定より $\int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{a}^{b} g (t) d t$ であるから、後ろの2項は打ち消し合う。したがって $\int_{a}^{b} f (t) lo g f (t) d t ≧ \int_{a}^{b} f (t) lo g g (t) d t$ が成り立つ。変数名を $x$ に戻せば、求める不等式である。

(3)

定数関数 $g (x) = M$ を考える。 $M$ の定義より $\int_{a}^{b} g (x) d x = (b - a) M = \int_{a}^{b} f (x) d x$ であるから、(2)を適用できる。

すると

\int_{a}^{b} f (x) lo g f (x) d x ≧ \int_{a}^{b} f (x) lo g M, d x

である。右辺は

\int_{a}^{b} f (x) lo g M, d x = lo g M \int_{a}^{b} f (x) d x = lo g M \cdot (b - a) M

である。よって $\int_{a}^{b} f (x) lo g f (x) d x ≧ (b - a) M lo g M$ となり、両辺を $b - a > 0$ で割って $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) lo g f (x) d x ≧ M lo g M$ を得る。

九州大学 2002年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2002年度
理系数学第3問