九州大学 2002年度理系数学第5問(a) 解答・解説

問題

平面上の点 $P$ の $x$ 座標と $y$ 座標が，変数 $θ$ の関数 $f (θ) = \frac{( θ - π ) ^{2}}{2 π ^{2}} + \frac{1}{2}$ を用いて，

x = f (θ) cos θ, y = f (θ) sin θ

と表されている． $θ$ が $0 ≦ θ ≦ 2 π$ の範囲で変化したとき，点 $P$ が描く曲線を $C$ とする．点 $P$ を $P (θ)$ で表し， $P_{1} = P (0)$ ， $P_{2} = P (\frac{π}{2})$ ， $P_{3} = P (π)$ とおく．次の問いに答えよ．

(1) 方程式 $\frac{( x - α ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - β ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ で与えられる楕円が点 $P_{1}$ を通るとする．このとき，点 $P_{3}$ がこの楕円の内部に含まれる(ただし楕円の上にない)ための必要十分条件を $α$ のみを用いて表せ．

(2) 点 $P_{2}$ における曲線 $C$ の接線を $l$ とする． $l$ の方程式を求めよ．

(3) 次の条件(i)(ii)(iii)をみたす楕円 $D$ を考える．

(i) $D$ の軸の1つは $x$ 軸上にある．

(ii) $D$ は点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ を通る．

(iii) 点 $P_{2}$ における $D$ の接線は $l$ である．

このとき，点 $P_{3}$ は楕円 $D$ の内部に含まれるかどうか判定せよ．

出典：九州大学 2002年度前期日程第2次学力試験理系第5問(a)

方針

まず $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ の座標を具体的に出す。(1)は楕円が $P_{1}$ を通る条件と $P_{3}$ が内部にある条件を引き比べ、 $a, b, β$ を消して $α$ だけの不等式にする。(2)は媒介変数表示を微分して $P_{2}$ の接線の傾きを求める。(3)は軸が $x$ 軸上にある楕円を中心 $(k, 0)$ とおいて、 $P_{1}, P_{2}$ 通過条件と接線条件から $k$ を決め、(1)の判定に戻す。

解答

まず3点の座標を求めておく。 $f (0) = 1, f (\frac{π}{2}) = \frac{5}{8}, f (π) = \frac{1}{2}$ であるから

P_{1} = (1, 0), P_{2} = (0, \frac{5}{8}), P_{3} = (- \frac{1}{2}, 0)

である。

(1)

楕円 $\frac{( x - α ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - β ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ が $P_{1} = (1, 0)$ を通るので $\frac{( 1 - α ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{β ^{2}}{b ^{2}} = 1$ である。

点 $P_{3} = (- 1/2, 0)$ が楕円の内部にある条件は $\frac{( - 1/2 - α ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{β ^{2}}{b ^{2}} < 1$ である。上の $P_{1}$ の式と比べると、これは $(- 1/2 - α)^{2} < (1 - α)^{2}$ と同値である。よって $α^{2} + α + \frac{1}{4} < α^{2} - 2 α + 1$ となり $3 α < \frac{3}{4}$ を得る。したがって必要十分条件は $α < \frac{1}{4}$ である。

(2)

$r = f (θ)$ とおくと $x = r cos θ, y = r sin θ$ である。また $f^{'} (θ) = \frac{θ - π}{π ^{2}}$ だから、 $θ = π /2$ では $r = \frac{5}{8}, r^{'} = - \frac{1}{2 π}$ である。

微分すると

\frac{d x}{d θ} = r^{'} cos θ - r sin θ, \frac{d y}{d θ} = r^{'} sin θ + r cos θ

である。 $θ = π /2$ に代入して $\frac{d x}{d θ} = - \frac{5}{8}, \frac{d y}{d θ} = - \frac{1}{2 π}$ となる。よって接線の傾きは $\frac{d y / d θ}{d x / d θ} = \frac{4}{5 π}$ である。

接点は $P_{2} = (0, 5/8)$ なので、接線 $l$ は $y = \frac{4}{5 π} x + \frac{5}{8}$ である。

(3)

楕円 $D$ の軸の1つが $x$ 軸上にあるので、中心を $(k, 0)$ として $\frac{( x - k ) ^{2}}{A ^{2}} + \frac{y ^{2}}{B ^{2}} = 1$ とおける。 $P_{1} = (1, 0)$ を通るから $A^{2} = (1 - k)^{2}$ である。

さらに $P_{2} = (0, 5/8)$ を通るので $\frac{k ^{2}}{( 1 - k ) ^{2}} + \frac{25}{64 B ^{2}} = 1$ となる。したがって $B^{2} = \frac{25 ( 1 - k ) ^{2}}{64 ( 1 - 2 k )}$ であり、楕円であるためには $k < 1/2$ が必要である。

この楕円を暗に微分すると $\frac{2 ( x - k )}{( 1 - k ) ^{2}} + \frac{2 y y ^{'}}{B ^{2}} = 0$ である。 $P_{2} = (0, 5/8)$ における接線の傾きは $y^{'} = \frac{B ^{2} k}{( 1 - k ) ^{2} ( 5/8 )} = \frac{5 k}{8 ( 1 - 2 k )}$ である。

条件(iii)より、これは(2)で求めた傾き $4/ (5 π)$ に等しい。よって $\frac{5 k}{8 ( 1 - 2 k )} = \frac{4}{5 π}$ であり $25 π k = 32 (1 - 2 k)$ となる。したがって $k = \frac{32}{25 π + 64}$ である。

ここで $25 π > 75 > 64$ だから $4 k = \frac{128}{25 π + 64} < 1$ すなわち $k < \frac{1}{4}$ である。(1)の判定で $α = k$ と見れば、点 $P_{3}$ は楕円 $D$ の内部に含まれる。

したがって $P_{3} は楕円 D の内部に含まれる$ である。

九州大学 2002年度理系数学 第5問(a)

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2002年度
理系数学第5問(a)