九州大学 2002年度理系数学第5問(b) 解答・解説

問題

正の実数 $a$ の3乗根 $3 a$ を近似することを考える．与えられた2以上の整数 $p$ に対して関数 $f (x)$ ， $g (x)$ を

⎩ ⎨ ⎧ f (x) = x^{p} - a x^{p - 3} g (x) = x - \frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )}

とする．ここで $f^{'} (x)$ は $f (x)$ の導関数である．次の問いに答えよ．

(1) $g (x) - 3 a$ は

g (x) - 3 a = (x - 3 a)^{2} \times \frac{x の 2 次式}{x の 3 次式}

の形で表されることを示せ．

(2) $p = 2$ とする．このとき， $g (x) - 3 a$ は

g (x) - 3 a = (x - 3 a)^{3} \times \frac{x の 1 次式}{x の 3 次式}

の形で表されることを示せ．

(3) $a = 9$ ， $p = 2$ とする． $2 < 39 < 2.1$ に注意して，不等式

0 < 39 - g (2) < \frac{1}{1000}

が成り立つことを示せ．また， $39$ を小数第3位まで求めよ（すなわち，小数第4位以下を切り捨てよ）．

出典：九州大学 2002年度前期日程第2次学力試験理系第5問(b)

方針

$α = 3 a$ と置き、 $a = α^{3}$ として $f$ と $f^{'}$ を因数分解する。 $g (x) - α = x - α - f (x) / f^{'} (x)$ を1つの分数にまとめ、分子に $(x - α)^{2}$ が出ることを展開で確認する。 $p = 2$ では残った2次式がさらに $x^{2} - α^{2}$ となり、3乗の誤差評価になる。数値評価では $g (2) = 2.08$ を出し、 $2 < α < 2.1$ で誤差を上から押さえる。

解答

(1)

$α = 3 a$ とおく。すると $a = α^{3}$ である。 $f (x) = x^{p} - α^{3} x^{p - 3} = x^{p - 3} (x^{3} - α^{3})$ であり $f^{'} (x) = p x^{p - 1} - (p - 3) α^{3} x^{p - 4} = x^{p - 4} {p x^{3} - (p - 3) α^{3}}$ である。したがって、分母が0でない範囲で $\frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )} = \frac{x ( x ^{3} - α ^{3} )}{p x ^{3} - ( p - 3 ) α ^{3}}$ となる。

よって

g (x) - α = x - α - \frac{x ( x ^{3} - α ^{3} )}{p x ^{3} - ( p - 3 ) α ^{3}} = \frac{( x - α ) { p x ^{3} - ( p - 3 ) α ^{3} } - x ( x ^{3} - α ^{3} )}{p x ^{3} - ( p - 3 ) α ^{3}} .

分子を整理すると

(x - α) {p x^{3} - (p - 3) α^{3}} - x (x^{3} - α^{3}) = (p - 1) x^{4} - p α x^{3} + (4 - p) α^{3} x + (p - 3) α^{4} = (x - α)^{2} {(p - 1) x^{2} + (p - 2) α x + (p - 3) α^{2}} .

したがって

g (x) - 3 a = (x - 3 a)^{2} \frac{( p - 1 ) x ^{2} + ( p - 2 ) 3 a x + ( p - 3 ) 3 a ^{2}}{p x ^{3} - ( p - 3 ) a}

であり、指定された形になっている。

(2)

(1)の式で $p = 2$ とすると $(p - 1) x^{2} + (p - 2) α x + (p - 3) α^{2} = x^{2} - α^{2} = (x - α) (x + α)$ である。また分母は $2 x^{3} + α^{3}$ である。したがって

g (x) - 3 a = (x - 3 a)^{3} \frac{x + 3 a}{2 x ^{3} + a}

となり、指定された形で表される。

(3)

$a = 9$ 、 $p = 2$ とし、 $α = 39$ とおく。まず $f (2) = 2^{2} - \frac{9}{2} = - \frac{1}{2}$ であり $f^{'} (x) = 2 x + \frac{9}{x ^{2}}$ だから $f^{'} (2) = 4 + \frac{9}{4} = \frac{25}{4}$ である。したがって $g (2) = 2 - \frac{- 1/2}{25/4} = 2 + \frac{2}{25} = \frac{52}{25} = 2.08$ である。

(2)の式より

g (2) - α = (2 - α)^{3} \frac{2 + α}{16 + 9} = (2 - α)^{3} \frac{2 + α}{25}

である。問題文の注意から $2 < α < 2.1$ なので、 $2 - α)^{3} < 0$ である。よって $α - g (2) = (α - 2)^{3} \frac{2 + α}{25} > 0$ である。

また $0 < α - 2 < 0.1$ 、 $2 + α < 4.1$ だから $0 < α - g (2) < 0. 1^{3} \cdot \frac{4.1}{25} = \frac{0.0041}{25} < \frac{1}{1000}$ である。したがって $0 < 39 - g (2) < \frac{1}{1000}$ が示された。

さらに $g (2) = 2.080$ であるから $2.080 < 39 < 2.081$ である。よって小数第4位以下を切り捨てると $39 = 2.080$ である。

九州大学 2002年度理系数学 第5問(b)

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2002年度
理系数学第5問(b)