問題
平面上の点の極座標を，原点からの距離 と偏角を用いてで表す．
(1) 平面上の2曲線
の概形を描き，この2曲線，の交点の極座標を求めよ．
(2) 平面上の3点，，の極座標をそれぞれ，，とするとき，三角形と三角形とが相似となる点をで表す．点の極座標を求めよ．ただし，点はとなるように向きも込めて定める．
(3) 3点，，が同一直線上にないとき，四角形が平行四辺形となるような点をで表す．，の極座標が，でのとき，点の極座標を求めよ．
(4) さらに，平面上の点の極座標をとして，実数に対し点を，のときは極座標がとなる点，のときはとなる点とする．(1)で求めた2曲線，の交点をとして，点が曲線上にあるためのの条件を求めよ．
方針
(1)は極方程式を直交座標へ直し、 が中心 、半径1の円であることを読む。交点は同じ で2つの が一致する条件から求める。(2)は相似比と偏角の加法を使い、 が極座標の積に対応することを示す。(3)は同じ長さの2ベクトルの和を、二等辺三角形の対角線として表す。(4)は交点 、、 を順に求め、最後に符号つき拡大 が 上に乗る条件を調べる。
解答
(1)
である。両辺に を掛けると であり、、 より である。すなわち で、中心 、半径1の円である。
一方 である。交点では だから である。与えられた範囲 では であり、このとき である。したがって交点の極座標は である。
(2)
点 は極座標 なので である。三角形 と が相似で、 に対応する辺が 、 に対応する辺が であるから である。よって である。
また、向きも込めて であり、これが に等しいので、 の偏角は である。したがって である。
(3)
、 を原点から出るベクトルと見れば、平行四辺形 の点 はベクトル和 である。 なので、2つの同じ長さのベクトルの和は、偏角の平均方向を向く。長さは余弦定理、または二等辺三角形から である。
したがって、 の表示では
である。もしこの余弦が負になる表示を用いる場合は、距離を正にするため偏角を だけ加えればよい。
(4)
交点の一つを とする。もう一つを選んでも同じ結果になる。まず(2)より である。次に(3)より、偏角 と の単位ベクトルの和は、負の 軸方向の長さ1のベクトルである。したがって である。
点 を考える。 のとき、この点の極座標は である。これが 上にあるには が必要十分である。 では原点であり、与えられた の交点としては現れない。 のときは点は正の 軸上に移るが、円 は正の 軸上の正の点を含まない。したがって条件は である。
別解。(3)は複素数で表すと一行で確認できる。 に対応する複素数を とすると、平行四辺形の第4頂点はその和である。したがって
であり、同じ極座標表示が得られる。