問題
，，を0でない実数として，空間内に3点，，をとる．
(1) 空間内の点がを満たしながら動くとき，この点はある定点から一定の距離にあることを示せ．
(2) (1)における定点は3点，，を通る平面上にあることを示せ．
(3) (1)におけるについて，四面体の体積の最大値を求めよ．
出典：九州大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(c)
方針
一般の切片 でも、点 を置いて内積条件を展開し、平方完成する方針は同じである。球の中心 と半径を文字で求め、 が平面 上にあることを切片形の平面方程式で確認する。体積の最大値は、底面 の面積と、球面から平面までの最大距離、すなわち球の半径との積で決まる。
解答
(1)
とおく。このとき であり、 だから である。よって条件は すなわち である。3で割って平方完成すると より
となる。したがって は定点 から一定距離 にある。
(2)
3点 を通る平面は である。 は0でないので、この式は有効である。 を代入すると となる。よって は平面 上にある。
(3)
底面 の面積を求める。 であるから、底面積は である。
(2)より、球の中心 は底面の平面上にある。したがって球面上の点 から平面 までの距離の最大値は、球の半径 である。よって四面体の体積の最大値は
すなわち
である。