問題
定数，を係数とする2次関数のグラフが，原点を中心とする半径1の円と異なる2点で接しているとする．ただし，とする．
(1) ，の条件式，および接点の座標を求めよ．
(2) 与えられた2次関数のグラフと軸とで囲まれる部分を，軸のまわりに回転して得られる回転体の体積をを用いて表せ．
(3) を最小にする，の値，およびそのときのの値を求めよ．
方針
円と放物線が左右対称に2点で接するので、 を用いて交点条件を1つの2次方程式にする。接する条件はその2次方程式が重解をもつことであり、ここから と接点の高さが得られる。回転体の体積は、放物線と 軸で囲まれる部分を 軸のまわりに回すので、円筒殻の考えで を計算する。最後に の範囲で1変数関数を微分して最小値を求める。
解答
(1)
円は であり、放物線は である。放物線の式から である。これを円の式に代入すると すなわち である。
放物線が円に異なる2点で接するには、この についての2次方程式が重解をもつ必要がある。判別式を0にして だから である。重解は である。したがって接点は である。異なる2点で接するためには平方根の中が正でなければならないので である。
(2)
放物線が 軸と交わる点は より である。求める領域を 軸のまわりに回す。左右対称なので、右半分の縦細片を回転させる円筒殻で考えると である。計算すると
である。 を代入して である。
(3)
である。 で微分すると である。 は であり、 とおくと である。正の解は なので である。 で はこの点の前で負、後で正となるので、ここで最小値をとる。
このとき である。また
である。
別解。体積 は輪切りで計算することもできる。高さ の水平断面で見ると、放物線 から である。これを 軸のまわりに回転すると、半径 の円板になる。したがって
であり、上と同じ式になる。