九州大学 2000年度理系数学第3問解答・解説

問題

$n$ を自然数として， $f (x) = k = 1 \sum n \frac{x ^{k}}{k}$ とおく．

(1) $x < 1$ において，

f (x) = - lo g (1 - x) - \int_{0}^{x} \frac{t ^{n}}{1 - t} d t

が成り立つことを示せ．ここで， $lo g \frac{t ^{n}}{1 - t}$ は自然対数を表す．

(2) $∣ x ∣ ≦ \frac{1}{3}$ とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

(i) $x ≧ 0$ において， $\int_{0}^{x} \frac{t ^{n}}{1 - t} d t ≦ \frac{3 x ^{n + 1}}{2 ( n + 1 )}$

(ii) $x < 0$ において， $\int_{0}^{x} \frac{t ^{n}}{1 - t} d t ≦ \frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{n + 1}$

(iii) $f (x) - f (- x) - lo g \frac{1 + x}{1 - x} ≦ \frac{5 ∣ x ∣ ^{n + 1}}{2 ( n + 1 )}$

(3) この不等式を用いて， $lo g 2$ の近似値を誤差が $\frac{1}{100}$ 以下となるような分数で求めよ．

出典：九州大学 2000年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

(1)は等比数列の有限和 $1/ (1 - t) = 1 + t + \dots + t^{n - 1} + t^{n} / (1 - t)$ を積分して示す。(2)は $∣ x ∣ ≦ 1/3$ の範囲で $1/ (1 - t)$ を上から評価し、正の場合と負の場合で積分区間の向きに注意する。(iii)は(1)を $x$ と $- x$ に適用して余り積分の差にする。(3)では $(1 + x) / (1 - x) = 2$ となる $x = 1/3$ を選び、奇数次だけが残る $f (x) - f (- x)$ を使って $lo g 2$ を近似する。

解答

(1)

$t < 1$ で $\frac{1}{1 - t} = 1 + t + t^{2} + \dots + t^{n - 1} + \frac{t ^{n}}{1 - t}$ が成り立つ。これを $0$ から $x$ まで積分すると

\int_{0}^{x} \frac{1}{1 - t} d t = k = 1 \sum n \frac{x ^{k}}{k} + \int_{0}^{x} \frac{t ^{n}}{1 - t} d t

である。左辺は $- lo g (1 - x)$ であり、中央の和は $f (x)$ である。したがって $f (x) = - lo g (1 - x) - \int_{0}^{x} \frac{t ^{n}}{1 - t} d t$ である。

(2)

(i) $0 ≦ x ≦ 1/3$ とする。この範囲では $0 ≦ t ≦ x ≦ 1/3$ なので $\frac{1}{1 - t} ≦ \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{3}{2}$ である。よって

0 ≦ \int_{0}^{x} \frac{t ^{n}}{1 - t} d t ≦ \frac{3}{2} \int_{0}^{x} t^{n} d t = \frac{3 x ^{n + 1}}{2 ( n + 1 )}

である。

(ii)

$- 1/3 ≦ x < 0$ とする。積分区間の向きに注意すると

\int_{0}^{x} \frac{t ^{n}}{1 - t} d t = \int_{x}^{0} \frac{t ^{n}}{1 - t} d t ≦ \int_{x}^{0} \frac{∣ t ∣ ^{n}}{∣1 - t ∣} d t

である。 $t ≦ 0$ では $∣1 - t ∣ = 1 - t ≧ 1$ だから

\int_{0}^{x} \frac{t ^{n}}{1 - t} d t ≦ \int_{x}^{0} ∣ t ∣^{n} d t = \frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{n + 1}

である。

(iii)

(1)を $x$ と $- x$ に適用する。 $f (x) = - lo g (1 - x) - \int_{0}^{x} \frac{t ^{n}}{1 - t} d t$ であり、 $f (- x) = - lo g (1 + x) - \int_{0}^{- x} \frac{t ^{n}}{1 - t} d t$ である。差を取ると

f (x) - f (- x) - lo g \frac{1 + x}{1 - x} = - \int_{0}^{x} \frac{t ^{n}}{1 - t} d t + \int_{0}^{- x} \frac{t ^{n}}{1 - t} d t

である。

右辺の絶対値は、(i)(ii)の評価を合わせて

\frac{3∣ x ∣ ^{n + 1}}{2 ( n + 1 )} + \frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{n + 1} = \frac{5∣ x ∣ ^{n + 1}}{2 ( n + 1 )}

以下である。したがって

f (x) - f (- x) - lo g \frac{1 + x}{1 - x} ≦ \frac{5∣ x ∣ ^{n + 1}}{2 ( n + 1 )}

である。

(3)

$\frac{1 + x}{1 - x} = 2$ となる $x$ は $x = \frac{1}{3}$ である。 $n = 3$ とすると、(2)(iii)より誤差は $\frac{5 ( 1/3 ) ^{4}}{2 ( 3 + 1 )} = \frac{5}{648} < \frac{1}{100}$ である。

このとき $f (\frac{1}{3}) - f (- \frac{1}{3})$ では偶数次の項が消え、奇数次の項だけが2倍される。 $n = 3$ だから

f (\frac{1}{3}) - f (- \frac{1}{3}) = 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3})^{3}) = 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{81}) = \frac{56}{81}

である。よって $lo g 2 ≃ \frac{56}{81}$ とすれば、誤差は $1/100$ 以下である。

九州大学 2000年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(ii)

(iii)

(3)

九州大学 2000年度
理系数学第3問