問題
複素数と，それに共役な複素数に対しとする．
(1) は整数を係数とするある3次方程式の解となることを示せ．
(2) この3次方程式は3個の実数解をもち，そのいずれも有理数ではないことを示せ。
(3) 有理数を係数とする2次方程式で，を解とするものは存在しないことを背理法を用いて示せ．
方針
と見て、3倍角公式から3次方程式を作る。(2)では符号変化で3つの実数解があることを示し、有理根定理で有理数解がないことを確認する。(3)は背理法で、もし が有理数係数2次方程式の解なら、3次式 とその2次式が共通根をもつ。割り算の余りを考えると、有理数解または有理係数1次因子が出てしまい、(2)と矛盾する。
解答
(1)
なので である。したがって である。
3倍角公式 に を代入する。 だから である。よって は の解である。
(2)
とおく。 なので、 と の間に実数解がある。また なので、 と0の間にも実数解がある。さらに なので、1と2の間にも実数解がある。3次方程式の解は高々3個なので、この方程式は3個の実数解をもつ。
次に有理数解がないことを示す。 は最高次係数1、定数項 の整数係数多項式である。有理数解をもつなら、その解は整数で、しかも に限られる。しかし である。したがって有理数解はない。よって3個の実数解はいずれも有理数ではない。
(3)
背理法で示す。 を解にもつ有理数係数の2次方程式が存在すると仮定する。その左辺を とする。必要なら定数倍して、 は有理数係数の2次式であるとしてよい。 を で割ると、余りは高々1次の有理数係数多項式である。これを とする。、 だから である。
もし が0でない1次式なら、 より は有理数である。これは(2)に反する。もし が0でない定数なら、 は不可能である。したがって余りは0でなければならない。
余りが0なら、 は を割り切る。すると は有理数係数の1次式を因数にもつので、有理数解をもつことになる。これも(2)に反する。よって仮定は誤りであり、 を解とする有理数係数の2次方程式は存在しない。