熊本大学 2025年度文理共通数学第4問（医学部医学科）解答・解説

問題

実数 $p > 1$ と正の整数 $n$ に対して $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k^{p}$ とおく。以下の問いに答えよ。(問1)　 $lim_{n \to \infty} \frac{S _{n}}{n ^{p + 1}}$ を求めよ。(問2)　 $0 ≦ α < β$ とする。点 $(α, α^{p})$ における $y = x^{p}$ の接線の方程式を求めよ。また,不等式 $\frac{1}{2} (β - α) {2 α^{p} + p (β - α) α^{p - 1}}$ $≦ \int_{α}^{β} x^{p} d x$ $≦ \frac{1}{2} (β - α) (β^{p} + α^{p})$ を証明せよ。(問3)　(問1)で求めた値を $c$ とおく。 $lim_{n \to \infty} \frac{S _{n} - c n ^{p + 1}}{n ^{p}}$ を求めよ。

出典：熊本大学 2025年度前期文理共通第4問

方針

標準解法（凸性の接線・弦評価ではさむ）

(問1)は積分比較で主項を決める。(問2)では $x^{p}$ の導関数が増加することから，接線が曲線の下，両端を結ぶ弦が曲線の上にあることを示して積分する。(問3)はその二つの評価を単位区間ごとに足し，差 $S_{n} - \frac{n ^{p + 1}}{p + 1}$ を $n^{p} /2$ へはさむ。

別解（問1：区分求積法）

$S_{n} / n^{p + 1}$ をそのまま $[0, 1]$ 上のリーマン和へ変形する。積分比較とは独立に主項 $1/ (p + 1)$ を一行で確認できる。

解答

標準解法（凸性の接線・弦評価ではさむ）

(問1)

$x^{p}$ は $x ≧ 0$ で増加するから

\int_{0}^{n} x^{p} d x ≦ S_{n} ≦ \int_{1}^{n + 1} x^{p} d x

である。したがって

\frac{1}{p + 1} ≦ \frac{S _{n}}{n ^{p + 1}} ≦ \frac{( n + 1 ) ^{p + 1} - 1}{( p + 1 ) n ^{p + 1}}

であり、はさみうちにより

n \to \infty lim \frac{S _{n}}{n ^{p + 1}} = \frac{1}{p + 1}

である。

(問2)

$y = x^{p}$ の $x = α$ における接線は

y = α^{p} + p α^{p - 1} (x - α)

である。

$α ≦ x ≦ β$ で

ϕ (x) = x^{p} - α^{p} - p α^{p - 1} (x - α)

とおくと

ϕ^{'} (x) = p (x^{p - 1} - α^{p - 1}) ≧ 0, ϕ (α) = 0

である。よって接線は曲線の下側にある。これを積分して

\frac{1}{2} (β - α) {2 α^{p} + p (β - α) α^{p - 1}} ≦ \int_{α}^{β} x^{p} d x

を得る。

また、 $y = x^{p}$ の導関数は増加するので、曲線は区間 $[α, β]$ で弦の下側にある。すなわち

x^{p} ≦ \frac{β - x}{β - α} α^{p} + \frac{x - α}{β - α} β^{p}

である。これを積分して

\int_{α}^{β} x^{p} d x ≦ \frac{1}{2} (β - α) (α^{p} + β^{p})

を得る。

(問3)

(問1)より $c = 1/ (p + 1)$ である。まず(問2)の右側の不等式を各区間 $[k - 1, k]$ に用いて足すと

c n^{p + 1} = \int_{0}^{n} x^{p} d x ≦ S_{n} - \frac{1}{2} n^{p}

である。したがって

\frac{S _{n} - c n ^{p + 1}}{n ^{p}} ≧ \frac{1}{2}

である。

次に(問2)の左側の不等式を各区間 $[j, j + 1]$ に用いると

\int_{j}^{j + 1} x^{p} d x ≧ j^{p} + \frac{p}{2} j^{p - 1}

である。これを $j = 1, 2, \dots, n - 1$ について足すと

c n^{p + 1} ≧ S_{n - 1} + \frac{p}{2} j = 1 \sum n - 1 j^{p - 1}

であるから

S_{n} - c n^{p + 1} ≦ n^{p} - \frac{p}{2} j = 1 \sum n - 1 j^{p - 1}

である。積分比較により

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{p}} j = 1 \sum n - 1 j^{p - 1} = \frac{1}{p}

である。したがって， $R_{n} = (S_{n} - c n^{p + 1}) / n^{p}$ とおけば

n \to \infty lim sup R_{n} ≦ 1 - \frac{p}{2} \cdot \frac{1}{p} = \frac{1}{2} .

一方，先の評価からすべての $n$ で $R_{n} ≧ 1/2$ である。よって

n \to \infty lim \frac{S _{n} - c n ^{p + 1}}{n ^{p}} = \frac{1}{2}

である。

【接線・弦による評価の図】

図を準備中です。

凸関数では「接線 $≦$ 曲線 $≦$ 弦」である。この向きを単位区間ごとに保ったまま加えることが (問3) の核心である。

別解（問1：区分求積法）

(問1)

\frac{S _{n}}{n ^{p + 1}} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n (\frac{k}{n})^{p} .

これは連続関数 $x^{p}$ の区間 $[0, 1]$ における右端の区分求積であるから

n \to \infty lim \frac{S _{n}}{n ^{p + 1}} = \int_{0}^{1} x^{p} d x = \frac{1}{p + 1} .

熊本大学 2025年度文理共通数学 第4問（医学部医学科）

問題

方針

標準解法（凸性の接線・弦評価ではさむ）

別解（問1：区分求積法）

解答

標準解法（凸性の接線・弦評価ではさむ）

(問1)

(問2)

(問3)

【接線・弦による評価の図】

別解（問1：区分求積法）

(問1)

熊本大学 2025年度
文理共通数学第4問（医学部医学科）