熊本大学 2025年度文理共通数学第1問（理工系）解答・解説

問題

次のように定められた複素数の数列 ${z_{n}}$ を考える。 $z_{1} = 1,$ $z_{n + 1} = (1 + i) z_{n}$ $+ (2 + i) \overline{z_{n}}$ $（ n = 1, 2, 3, \dots ）$ ただし, $i$ は虚数単位であり, $\overline{z_{n}}$ は $z_{n}$ と共役な複素数である。以下の問いに答えよ。(問1)　 $α_{n} = z_{n} + \overline{z_{n}}$ $（ n = 1,$ $2,$ $3,$ $\dots ）$ とおくとき,数列 ${α_{n}}$ の一般項を求めよ。(問2)　 $β_{n} = (2 - i) z_{n} - (2 + i) \overline{z_{n}}$ $（ n = 1,$ $2,$ $3,$ $\dots ）$ とおくとき,数列 ${β_{n}}$ の一般項を求めよ。(問3)　数列 ${z_{n}}$ の一般項を求めよ。

出典：熊本大学 2025年度前期文理共通第1問

方針

標準解法（実部・虚部に分けて誘導を読む）

$z_{n} = x_{n} + y_{n} i$ とおくと，漸化式は $x_{n + 1} = 3 x_{n}$ ， $y_{n + 1} = 2 x_{n} - y_{n}$ になる。誘導で与えられた $α_{n}, β_{n}$ がそれぞれこの連立漸化式の独立な成分を取り出していることを確認し，二つの等比数列から $z_{n}$ を復元する。

別解（共役を保ったまま誘導式を計算）

実部・虚部へ分けず，漸化式とその共役を辺々加えて $α_{n + 1}$ を求める。次に定義へ漸化式を代入して $β_{n + 1} = - β_{n}$ を示し， $z_{n}$ を $α_{n}, β_{n}$ の一次結合として復元する。

解答

標準解法（実部・虚部に分けて誘導を読む）

(問1)

$z_{n} = x_{n} + y_{n} i$ とおく。漸化式より

z_{n + 1} = 3 x_{n} + (2 x_{n} - y_{n}) i

であるから

x_{n + 1} = 3 x_{n}

である。 $z_{1} = 1$ より $x_{1} = 1$ であり、 $α_{n} = z_{n} + \overline{z_{n}} = 2 x_{n}$ だから

α_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}

である。

(問2)

β_{n} = (2 - i) z_{n} - (2 + i) \overline{z_{n}} = 2 i (2 y_{n} - x_{n})

である。また

2 y_{n + 1} - x_{n + 1} = 2 (2 x_{n} - y_{n}) - 3 x_{n} = - (2 y_{n} - x_{n})

であるから

β_{n + 1} = - β_{n}

となる。 $β_{1} = - 2 i$ なので

β_{n} = 2 (- 1)^{n} i

である。

(問3)

(問1)より

x_{n} = 3^{n - 1}

である。また(問2)より

2 y_{n} - x_{n} = (- 1)^{n}

であるから

y_{n} = \frac{3 ^{n - 1} + ( - 1 ) ^{n}}{2}

である。したがって

z_{n} = 3^{n - 1} + \frac{3 ^{n - 1} + ( - 1 ) ^{n}}{2} i

である。

別解（共役を保ったまま誘導式を計算）

(問1)

漸化式とその共役

\overline{z_{n + 1}} = (1 - i) \overline{z_{n}} + (2 - i) z_{n}

を加えると

α_{n + 1} = 3 (z_{n} + \overline{z_{n}}) = 3 α_{n} .

$α_{1} = 2$ より

α_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1} .

(問2)

定義へ二つの漸化式を代入して整理すると

β_{n + 1} = (2 - i) z_{n + 1} - (2 + i) \overline{z_{n + 1}} = - (2 - i) z_{n} + (2 + i) \overline{z_{n}} = - β_{n} .

$β_{1} = - 2 i$ だから $β_{n} = 2 (- 1)^{n} i$ である。

(問3)

連立一次式

α_{n} = z_{n} + \overline{z_{n}}, β_{n} = (2 - i) z_{n} - (2 + i) \overline{z_{n}}

を $z_{n}$ について解くと

z_{n} = \frac{( 2 + i ) α _{n} + β _{n}}{4} .

よって

z_{n} = 3^{n - 1} + \frac{3 ^{n - 1} + ( - 1 ) ^{n}}{2} i .

熊本大学 2025年度文理共通数学 第1問（理工系）

問題

方針

標準解法（実部・虚部に分けて誘導を読む）

別解（共役を保ったまま誘導式を計算）

解答

標準解法（実部・虚部に分けて誘導を読む）

(問1)

(問2)

(問3)

別解（共役を保ったまま誘導式を計算）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2025年度
文理共通数学第1問（理工系）