熊本大学 2025年度文理共通数学第3問（理工系）解答・解説

問題

実数 $a > 0$ に対し、座標平面の点の集合 $X_{a}$ を

X_{a} = {(m, n) ∣ m, n は m^{2} a + \frac{n ^{2}}{a} ≦ 25 を満たす正の整数}

で定める。以下の問いに答えよ。

(問1) $X_{1}$ の要素の個数を求めよ。

(問2) 正の整数 $m$ に対し、点 $(m, 1)$ はどのような $a > 0$ に対しても $X_{a}$ に含まれないとする。このような $m$ の最小値を求めよ。

(問3) 座標平面の点の集合 $X$ を

X = {(m, n) ∣ ある a > 0 に対し (m, n) \in X_{a} となる}

で定める。 $X$ の要素の個数を求めよ。

出典：熊本大学 2025年度前期文理共通第3問

方針

標準解法（相加相乗平均で存在条件を作る）

固定した正整数 $(m, n)$ に対し，連続変数 $a > 0$ を先に最適化する。相加相乗平均により $m^{2} a + n^{2} / a$ の最小値が $2 mn$ と分かるため，『ある $a$ が存在する』という条件は $mn ≦ 12$ という整数条件に変わる。最後は漏れなく個数を数える。

別解（判別式でパラメータの存在条件を判定）

不等式に正の $a$ を掛け， $a$ の二次不等式へ直す。上に凸ではなく下に凸の二次式が0以下になる正の $a$ が存在する条件を判別式で判定し，公式解答例と同じ整数条件を得る。

解答

標準解法（相加相乗平均で存在条件を作る）

(問1)

$a = 1$ のとき条件は

m^{2} + n^{2} ≦ 25

である。正の整数 $m, n$ について数えると

m 1234 n の個数 4443

であり、 $m ≧ 5$ では存在しない。したがって $X_{1}$ の要素の個数は

4 + 4 + 4 + 3 = 15

である。

(問2)

点 $(m, 1)$ について考える。相加相乗平均より

m^{2} a + \frac{1}{a} ≧ 2 m

であり、等号は $a = 1/ m$ のとき成り立つ。したがって、ある $a > 0$ で $m^{2} a + 1/ a ≦ 25$ となるための条件は

2 m ≦ 25

である。よってどの $a > 0$ に対しても含まれない最小の正の整数 $m$ は

13

である。

(問3)

正の整数 $m, n$ を固定すると、相加相乗平均より

m^{2} a + \frac{n ^{2}}{a} ≧ 2 mn

であり、等号は $a = n / m$ のとき成り立つ。したがって $(m, n) \in X$ となる条件は

2 mn ≦ 25

すなわち

mn ≦ 12

である。 $m = 1, 2, \dots, 12$ に対する $n$ の個数は順に

12, 6, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1

である。よって個数は

12 + 6 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 35

である。

別解（判別式でパラメータの存在条件を判定）

(問2)

$(m, 1) \in X_{a}$ は

m^{2} a^{2} - 25 a + 1 ≦ 0

と同値である。この二次式の頂点は $a = 25/ (2 m^{2}) > 0$ にあるから，正の $a$ で0以下になるための条件は判別式が0以上，すなわち

625 - 4 m^{2} ≧ 0.

よって $m ≦ 12$ ではある $a$ が存在し，どの $a$ でも入らない最小の $m$ は13である。

(問3)

同様に

m^{2} a^{2} - 25 a + n^{2} ≦ 0

を満たす正の $a$ が存在する条件は

625 - 4 m^{2} n^{2} ≧ 0,

すなわち $mn ≦ 12$ である。したがって

∣ X ∣ = m = 1 \sum 12 ⌊ \frac{12}{m} ⌋ = 12 + 6 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 35.

熊本大学 2025年度文理共通数学 第3問（理工系）

問題

方針

標準解法（相加相乗平均で存在条件を作る）

別解（判別式でパラメータの存在条件を判定）

解答

標準解法（相加相乗平均で存在条件を作る）

(問1)

(問2)

(問3)

別解（判別式でパラメータの存在条件を判定）

(問2)

(問3)

熊本大学 2025年度
文理共通数学第3問（理工系）