熊本大学 2025年度文理共通数学第3問（医学部医学科）解答・解説

問題

$x y z$ 空間において, $5$ 点 $A (3, 0, 0),$ $B (0, 3, 0),$ $C (0, - 3, 0),$ $D (3, 0, 3),$ $P (0, 0, 1)$ をとる。点 $P$ を通り $x$ 軸に平行な直線を $l$ とする。四面体 $A B C D$ を $l$ の周りに $1$ 回転させるとき,この四面体が通過する部分の体積 $V$ を求めよ。ただし,四面体は内部も含むものとする。

出典：熊本大学 2025年度前期文理共通第3問

方針

回転軸に垂直な平面 $x = t$ で切る。四面体の断面は $y z$ 平面内の長方形で，回転軸は点 $(0, 1)$ に見える。長方形をこの点の周りに回転した通過領域について，軸点が長方形の外か内か，最遠頂点がどちらかにより $0 ≦ t ≦ 1$ ， $1 ≦ t ≦ 2$ ， $2 ≦ t ≦ 3$ に分け，断面積を積分する。

解答

$0 ≦ x ≦ 3$ で、四面体を平面 $x = 一定$ で切る。この断面を $y z$ 平面で見ると

- (3 - x) ≦ y ≦ 3 - x, 0 ≦ z ≦ x

で表される長方形である。回転軸 $l$ はこの断面では点 $(y, z) = (0, 1)$ に対応する。

この長方形を点 $(0, 1)$ の周りに回転したときの面積を $A (x)$ とする。 $0 ≦ x ≦ 1$ では軸点が長方形の外にあり、内半径は $1 - x$ 、外半径の平方は $(3 - x)^{2} + 1$ である。したがって

A (x) = π {(3 - x)^{2} + 1 - (1 - x)^{2}} = π (9 - 4 x)

である。

$1 ≦ x ≦ 2$ では軸点が長方形内にあり、外半径の平方は $(3 - x)^{2} + 1$ であるから

A (x) = π {(3 - x)^{2} + 1}

である。

$2 ≦ x ≦ 3$ では軸点が長方形内にあり、外半径の平方は $(3 - x)^{2} + (x - 1)^{2}$ であるから

A (x) = π {(3 - x)^{2} + (x - 1)^{2}}

である。

よって求める体積は

V = \int_{0}^{1} π (9 - 4 x) d x + \int_{1}^{2} π {(3 - x)^{2} + 1} d x + \int_{2}^{3} π {(3 - x)^{2} + (x - 1)^{2}} d x = π (7 + \frac{10}{3} + \frac{8}{3}) = 13 π

である。

【断面の見取り図】

図を準備中です。

$0 ≦ t < 1$ では回転軸が長方形の外にあるため内円が抜ける。 $t ≧ 1$ では軸点を含み，通過領域は円板になる。さらに $t = 2$ で最遠頂点が下端側から上端側へ切り替わる。

熊本大学 2025年度文理共通数学 第3問（医学部医学科）

問題

方針

解答

【断面の見取り図】

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文理共通数学第3問（医学部医学科）