熊本大学 2025年度文理共通数学第2問（文系学部）解答・解説

問題

座標平面上で $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点を格子点という。格子点上を次の規則に従って動く点 $P$ を考える。1。最初に点 $P$ は原点 $O$ にある。2。ある時刻で点 $P$ が格子点 $(x, y)$ にあるとき,その $1$ 秒後には $(x + 1, y)$ または $(x, y + 1)$ へ動く。格子点上に $A (m, 0),$ $B (m, n)$ を取る。ただし, $m,$ $n$ は正の整数である。最初から $k$ 秒後に,端点 $A,$ $B$ を含む線分 $A B$ 上に点 $P$ が初めて達するまでの $P$ の動き方の総数を $a_{k}$ とする。以下の問いに答えよ。(問1)　 $m = 3,$ $n = 4$ のとき, $a_{7}$ を求めよ。(問2)　 $m ≦ k ≦ m + n$ に対して $a_{k}$ を求めよ。(問3)　等式 $\sum_{k = m}^{m + n} a_{k} =_{m + n} C_{m}$ が成り立つことを示せ。

出典：熊本大学 2025年度前期文理共通第2問

方針

標準解法（初到達の最後の一歩を固定）

線分 $A B$ へ初めて達する瞬間には，最後の一歩が必ず右向きである。直前の $k - 1$ 歩に含まれる右向き移動を数えて $a_{k}$ を求める。(問3)は原点から $(m, n)$ までの全経路を『初めて $x = m$ となる時刻』で重複なく分類する。

別解（問3：パスカルの公式による代数証明）

(問2)の $a_{k} =_{k - 1} C_{m - 1}$ を代入し，パスカルの公式から得られるホッケースティック型の和を帰納的に証明する。

解答

標準解法（初到達の最後の一歩を固定）

(問1)

$m = 3, n = 4, k = 7$ である。 $7$ 秒後に初めて線分 $A B$ 上に達するには、 $7$ 秒後の点が $(3, 4)$ であり、最後の一歩で $x = 3$ にならなければならない。したがって最初の $6$ 歩のうち右向きの移動は $2$ 回であるから

a_{7} =_{6} C_{2} = 15

である。

(問2)

$m ≦ k ≦ m + n$ とする。 $k$ 秒後に線分 $A B$ 上へ初めて達する点は $(m, k - m)$ である。最後の一歩は $(m - 1, k - m)$ から $(m, k - m)$ への右向き移動であるから、その前の $k - 1$ 歩には右向き移動が $m - 1$ 回、上向き移動が $k - m$ 回含まれる。よって

a_{k} =_{k - 1} C_{m - 1}

である。

(問3)

原点から $(m, n)$ へ行く動き方の総数は、全 $m + n$ 歩のうち右向きの $m$ 歩を選ぶので

_{m + n} C_{m}

である。一方、このような経路は、線分 $A B$ に初めて達する時刻 $k$ が $m ≦ k ≦ m + n$ のいずれかにただ一つ定まる。したがって経路全体をこの $k$ で分類すると

k = m \sum m + n a_{k} =_{m + n} C_{m}

が成り立つ。

【経路の見取り図】

図を準備中です。

青い線分へ初めて入る一歩は必ず右向きである。したがって，最後の一歩を除いた $k - 1$ 歩だけを並べればよい。

別解（問3：パスカルの公式による代数証明）

(問3)

(問2)より

k = m \sum m + n a_{k} = k = m \sum m + n_{k - 1} C_{m - 1} .

ここで

k = m \sum m + r_{k - 1} C_{m - 1} =_{m + r} C_{m}

を $r$ について示す。 $r = 0$ では両辺は1である。 $r$ で成り立つとき，パスカルの公式より

_{m + r} C_{m} +_{m + r} C_{m - 1} =_{m + r + 1} C_{m} .

よって $r + 1$ でも成り立つ。 $r = n$ として

k = m \sum m + n a_{k} =_{m + n} C_{m}

を得る。

熊本大学 2025年度文理共通数学 第2問（文系学部）

問題

方針

標準解法（初到達の最後の一歩を固定）

別解（問3：パスカルの公式による代数証明）

解答

標準解法（初到達の最後の一歩を固定）

(問1)

(問2)

(問3)

【経路の見取り図】

別解（問3：パスカルの公式による代数証明）

(問3)

熊本大学 2025年度
文理共通数学第2問（文系学部）