熊本大学 2025年度文理共通数学第2問（理工系）解答・解説

問題

放物線 $y = x^{2}$ を $C$ とする。以下の問いに答えよ。(問1)　点 $(0, - 4)$ を通り $C$ に接する直線のうち,傾きが正のものを $l_{1},$ 負のものを $l_{2}$ とする。 $C,$ $l_{1},$ $l_{2}$ で囲まれる部分の面積を求めよ。(問2)　 $a > 0,$ $b < 0$ とし,直線 $l : y = a x + b$ は $C$ の接線であるとする。 $C,$ $x$ 軸, $l$ で囲まれる部分の面積が(問1)で求めた面積に等しいとする。 $a,$ $b$ を求めよ。(問3)　点 $(p, q)$ に対し, $(p, q)$ を通る $2$ つの直線 $m_{1},$ $m_{2}$ が $C$ の異なる接線であり, $C,$ $m_{1},$ $m_{2}$ で囲まれる部分の面積が(問1)で求めた面積に等しいとする。このような $(p, q)$ の軌跡を求めよ。

出典：熊本大学 2025年度前期文理共通第2問

方針

標準解法（接点パラメータで三問を統一）

放物線 $y = x^{2}$ の接点を $t$ とすれば接線は $y = 2 t x - t^{2}$ である。この一つの表示で接線の傾き・切片・交点・面積を統一する。(問3)は二接点 $u < v$ と接線の交点 $(p, q)$ の関係，および面積が接点差の三乗に比例することから軌跡を得る。

別解（問3：接線条件の判別式から軌跡を出す）

点 $(p, q)$ を通る接線の接点 $t$ は $t^{2} - 2 pt + q = 0$ の二根である。二接点の差と判別式を結び，面積を $p^{2} - q$ だけの式にする。

解答

標準解法（接点パラメータで三問を統一）

(問1)

$C : y = x^{2}$ の $x = t$ における接線は

y = 2 t x - t^{2}

である。これが $(0, - 4)$ を通るためには $- t^{2} = - 4$ であるから、 $t = \pm 2$ である。したがって二本の接線は

y = 4 x - 4, y = - 4 x - 4

である。求める面積は

2 \int_{0}^{2} {x^{2} - (4 x - 4)} d x = 2 \int_{0}^{2} (x - 2)^{2} d x = \frac{16}{3}

である。

(問2)

接線 $l : y = a x + b$ の接点の $x$ 座標を $t$ とすると、 $a = 2 t$ 、 $b = - t^{2}$ である。 $a > 0$ より $t > 0$ である。 $x$ 軸との交点は $x = t /2$ であるから、 $C$ 、 $x$ 軸、 $l$ で囲まれる部分の面積は

\int_{0}^{t /2} x^{2} d x + \int_{t /2}^{t} (x - t)^{2} d x = \frac{t ^{3}}{12}

である。これが $16/3$ に等しいので $t = 4$ である。よって

a = 8, b = - 16

である。

(問3)

二つの接点の $x$ 座標を $u < v$ とする。接線

y = 2 ux - u^{2}, y = 2 v x - v^{2}

の交点を $(p, q)$ とすると

p = \frac{u + v}{2}, q = uv

である。また囲まれる面積は

\int_{u}^{(u + v) /2} (x - u)^{2} d x + \int_{(u + v) /2}^{v} (x - v)^{2} d x = \frac{( v - u ) ^{3}}{12}

である。これが $16/3$ に等しいので $v - u = 4$ である。したがって

4 (p^{2} - q) = (u + v)^{2} - 4 uv = (v - u)^{2} = 16

より

q = p^{2} - 4

である。ゆえに求める軌跡は

y = x^{2} - 4

である。

【接点パラメータの図】

図を準備中です。

接線と放物線の差は $x^{2} - (2 t x - t^{2}) = (x - t)^{2}$ であり，面積積分が三乗になる理由もここから見える。

別解（問3：接線条件の判別式から軌跡を出す）

(問3)

接点 $t$ における接線 $y = 2 t x - t^{2}$ が $(p, q)$ を通る条件は

t^{2} - 2 pt + q = 0

である。異なる二接線をもつので $p^{2} - q > 0$ であり，二接点は

t_{1} = p + p^{2} - q, t_{2} = p - p^{2} - q .

標準解法の積分から，二接線と放物線で囲まれる面積は

\frac{( t _{1} - t _{2} ) ^{3}}{12} = \frac{2}{3} (p^{2} - q)^{3/2} .

これが $16/3$ だから

(p^{2} - q)^{3/2} = 8, p^{2} - q = 4.

したがって軌跡は

q = p^{2} - 4

である。この放物線上では常に $p^{2} - q = 4 > 0$ なので，実際に異なる二接線が存在する。

熊本大学 2025年度文理共通数学 第2問（理工系）

問題

方針

標準解法（接点パラメータで三問を統一）

別解（問3：接線条件の判別式から軌跡を出す）

解答

標準解法（接点パラメータで三問を統一）

(問1)

(問2)

(問3)

【接点パラメータの図】

別解（問3：接線条件の判別式から軌跡を出す）

(問3)

熊本大学 2025年度
文理共通数学第2問（理工系）