熊本大学 2025年度文理共通数学第3問（文系学部）解答・解説

問題

$x y z$ 空間内の平面 $α$ は $2$ 点 $A (- 1, 3, 1),$ $B (1, 5, 0)$ を通り $x$ 軸と交わるものとする。 $α$ と $x$ 軸の交点を $C$ とする。原点 $O$ から平面 $α$ に下した垂線 $O H$ の長さは $3$ とする。ただし,点 $H$ の $x$ 座標, $y$ 座標, $z$ 座標はいずれも整数とする。以下の問いに答えよ。(問1)　点 $H$ の座標を求めよ。(問2)　点 $C$ の座標を求めよ。(問3)　 $△ A B C$ の面積を求めよ。(問4)　四面体 $O A B C$ の体積を求めよ。

出典：熊本大学 2025年度前期文理共通第3問

方針

標準解法（垂線の足を平面の法線にする）

垂線の足 $H$ への位置ベクトル $O H$ は平面 $α$ の法線であり，平面上の点 $X$ は $O H \cdot O X = O H^{2}$ を満たす。 $A, B$ と整数条件から $H$ を決め，平面方程式，外積による底面積，高さ $O H$ へつなぐ。

別解（問1：二本の直交条件を直接使う）

$H = (x, y, z)$ とし， $A B ⊥ O H$ ， $A H ⊥ O H$ ， $O H = 3$ を直接連立する。平面方程式を先に作らない検算用の解法である。

解答

標準解法（垂線の足を平面の法線にする）

(問1)

$H = (u, v, w)$ とする。 $O H = 3$ より

u^{2} + v^{2} + w^{2} = 9

である。また $O H$ は平面 $α$ に垂直であるから、平面 $α$ は

ux + v y + w z = 9

と表せる。点 $A (- 1, 3, 1), B (1, 5, 0)$ がこの平面上にあるので

- u + 3 v + w = 9, u + 5 v = 9

である。これより $u = 9 - 5 v, w = 18 - 8 v$ であり、長さの条件に代入すると

(9 - 5 v)^{2} + v^{2} + (18 - 8 v)^{2} = 9

すなわち

5 v^{2} - 21 v + 22 = 0

となる。整数条件より $v = 2$ であり、したがって

H = (- 1, 2, 2)

である。

(問2)

平面 $α$ の方程式は

- x + 2 y + 2 z = 9

である。 $x$ 軸上では $y = z = 0$ であるから、交点 $C$ は

C = (- 9, 0, 0)

である。

(問3)

A B = (2, 2, - 1), A C = (- 8, - 3, - 1)

である。 $△ A B C$ の面積を $T$ とすると、 $A B$ と $A C$ で作る平行四辺形の面積は

(- 5)^{2} + 1 0^{2} + 1 0^{2} = 15

であるから

T = \frac{15}{2}

である。

(問4)

原点 $O$ から平面 $α$ までの距離は $O H = 3$ である。したがって四面体 $O A B C$ の体積は

\frac{1}{3} \cdot \frac{15}{2} \cdot 3 = \frac{15}{2}

である。

別解（問1：二本の直交条件を直接使う）

(問1)

$H = (x, y, z)$ とおく。 $O H = 3$ から

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9. (1)

また $A B = (2, 2, - 1)$ かつ $A B ⊥ O H$ より

2 x + 2 y - z = 0. (2)

さらに $A H = (x + 1, y - 3, z - 1)$ と $O H$ は直交するので

x^{2} + x + y^{2} - 3 y + z^{2} - z = 0.

(1)を用いると

x - 3 y - z = - 9. (3)

(2),(3)から $x = 9 - 5 y$ ， $z = 18 - 8 y$ 。これを (1) に代入すると

(5 y - 11) (y - 2) = 0.

座標は整数だから $y = 2$ ，したがって

H = (- 1, 2, 2) .

以後は標準解法と同じく，平面 $- x + 2 y + 2 z = 9$ から $C = (- 9, 0, 0)$ ，底面積 $15/2$ ，体積 $15/2$ を得る。

熊本大学 2025年度文理共通数学 第3問（文系学部）

問題

方針

標準解法（垂線の足を平面の法線にする）

別解（問1：二本の直交条件を直接使う）

解答

標準解法（垂線の足を平面の法線にする）

(問1)

(問2)

(問3)

(問4)

別解（問1：二本の直交条件を直接使う）

(問1)

熊本大学 2025年度
文理共通数学第3問（文系学部）