九州大学 2002年度文系数学第4問(b) 解答・解説

問題

次の問いに答えよ．

(1) 複素数 $α$ ， $β$ ， $γ$ ， $δ$ は $α \neq = β$ ， $γ \neq = δ$ をみたすとする．複素数平面上の2点 $α$ ， $β$ を通る直線が，2点 $γ$ ， $δ$ を通る直線と直交するための必要十分条件は，複素数 $\frac{α - β}{γ - δ}$ が純虚数であることを示せ．

複素数平面上の原点を中心とする半径1の円 $C$ 上に相異なる3点 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ をとる．次の問いに答えよ．

(2) $w_{1} = z_{1} + z_{2} + z_{3}$ とおく．点 $w_{1}$ は3点 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ を頂点とする三角形の垂心になることを示せ．ここで，三角形の垂心とは，各頂点から対辺またはその延

(3) $w_{2} = - \overline{z_{1}} z_{2} z_{3}$ とおく． $w_{2} \neq = z_{1}$ のとき，2点 $z_{2}, z_{3}$ を通る直線上に点 $z_{1}$ から下ろした垂線またはその延長線が円 $C$ と交わる点は $w_{2}$ であることを示せ．ここで $\overline{z_{1}}$ は $z_{1}$ に共役な複素数である．

出典：九州大学 2002年度前期日程第2次学力試験文系第4問(b)

方針

(1) は直線の方向を表す複素数の商を見る。商が純虚数であることは、2つの方向の偏角差が直角であることを意味する。(2)(3) では単位円上の点について $\overline{z} = 1/ z$ が成り立つことを使い、垂線条件を「商が純虚数」として直接確認する。 $w_{1}$ については $(w_{1} - z_{1}) / (z_{3} - z_{2}) = (z_{2} + z_{3}) / (z_{3} - z_{2})$ の共役が負になること、 $w_{2}$ については円上にあることと同じ垂線条件を示す。

解答

(1) 2点 $α, β$ を通る直線の方向は複素数 $α - β$ で表される。同様に、2点 $γ, δ$ を通る直線の方向は $γ - δ$ で表される。

2直線が直交することは、これら2つの方向の偏角の差が $9 0^{\circ}$ であることと同値である。したがって $\frac{α - β}{γ - δ}$ の偏角が $9 0^{\circ}$ または $27 0^{\circ}$ であることと同値であり、これはこの複素数が純虚数であることにほかならない。よって必要十分条件が示された。

(2) 単位円上の点については $\overline{z_{j}} = \frac{1}{z _{j}} (j = 1, 2, 3)$ が成り立つ。

点 $z_{1}$ から直線 $z_{2} z_{3}$ に下ろした垂線上に点 $z$ があることは、(1) より $\frac{z - z _{1}}{z _{3} - z _{2}}$ が純虚数であることと同値である。 $z = w_{1} = z_{1} + z_{2} + z_{3}$ とすると $\frac{w _{1} - z _{1}}{z _{3} - z _{2}} = \frac{z _{2} + z _{3}}{z _{3} - z _{2}}$ である。この共役を取ると

\overline{(\frac{z _{2} + z _{3}}{z _{3} - z _{2}})} = \frac{1/ z _{2} + 1/ z _{3}}{1/ z _{3} - 1/ z _{2}} = \frac{z _{2} + z _{3}}{z _{2} - z _{3}} = - \frac{z _{2} + z _{3}}{z _{3} - z _{2}}

である。したがってこの商は純虚数であり、 $w_{1}$ は $z_{1}$ から辺 $z_{2} z_{3}$ へ下ろした垂線上にある。

同じ計算を添字を入れ替えて行えば、 $w_{1}$ は他の頂点から対辺に下ろした垂線上にもある。よって $w_{1} = z_{1} + z_{2} + z_{3} は三角形 z_{1} z_{2} z_{3} の垂心$ である。

(3) まず $∣ w_{2} ∣ = ∣ - \overline{z_{1}} z_{2} z_{3} ∣ = 1$ であるから、 $w_{2}$ は円 $C$ 上にある。

次に、 $w_{2}$ が $z_{1}$ から直線 $z_{2} z_{3}$ に下ろした垂線上にあることを示す。 $w_{2} = - \overline{z_{1}} z_{2} z_{3}$ と $\overline{z_{1}} = 1/ z_{1}$ より $\frac{w _{2} - z _{1}}{z _{3} - z _{2}} = - \frac{z _{2} z _{3} + z _{1}^{2}}{z _{1} ( z _{3} - z _{2} )}$ である。この共役は $\frac{z _{1}^{2} + z _{2} z _{3}}{z _{1} ( z _{3} - z _{2} )}$ となり、もとの商の負である。したがって $\frac{w _{2} - z _{1}}{z _{3} - z _{2}}$ は純虚数である。

よって $w_{2}$ は、点 $z_{1}$ から直線 $z_{2} z_{3}$ に下ろした垂線上にあり、かつ円 $C$ 上にある。 $w_{2} \neq = z_{1}$ であるから、求めるもう一つの交点は $w_{2} = - \overline{z_{1}} z_{2} z_{3}$ である。

九州大学 2002年度文系数学 第4問(b)

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