問題
正の整数に対し，の正の約数全体の和をで表す．ただし，1および自身も約数とする．たとえば，であり，ならば15の正の約数はなので，となる．次の問いに答えよ．
(1) が正の奇数と正の整数を用いてと表されるとする．このときが成り立つことを示せ．必要ならば を用いてよい．
(2) が2以上の整数と正の整数を用いてと表されるとする．このときが成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのは，かつが素数であるときに限ることを示せ．
(3) ，（，は正の奇数）の形をした偶数，を考える．，をみたす，を求めよ．
方針
約数和は、2のべきの部分と奇数部分を分けると積の形で扱える。(2) は のとき と が必ず約数であることから下限を出し、等号成立には約数がその2個だけでなければならないことを使う。(3) は , に (1) を適用して , を得る。そこから が7の倍数、 が31の倍数であることを読み、(2) の等号条件で奇数部分を決定する。
解答
(1) は奇数であるから、 の正の約数は の形でちょうど表される。したがって である。等比数列の和より なので である。
(2) で である。 と はどちらも の正の約数であり、互いに異なる。よって である。
等号が成り立つとする。このとき の正の約数の和は、すでに数えた と の和だけで尽きていなければならない。ところが1も必ず正の約数であるから、1は または のどちらかである。 なので は不可能であり、 でなければならない。さらに、正の約数が だけであるため、 は素数である。
逆に、 かつ が素数なら、 の正の約数は のみであり、 となる。よって等号成立は の場合に限る。
(3) 条件より であり、 は正の奇数である。(1) から である。, を用いると となる。
第一式から は7の倍数であり、第二式から は31の倍数である。そこで とおく。すると である。
ここで (2) を に用いると である。したがって より を得る。同様に に (2) を用いると であり、 より を得る。よって であり、上の2つの不等式はいずれも等号で成り立つ。
(2) の等号条件より、 については かつ31が素数、 については かつ7が素数である。したがって であり、 を得る。