九州大学 2002年度
文系数学 第1問

解答

(1) 接点を $A(a,b)$ とする。$A$ は円 $x^2+y^2=r^2$ 上にあるので $a^2+b^2=r^2$ である。

円の接線は半径 $OA$ と垂直である。直線上の点を $P(x,y)$ とすると、$\overrightarrow{OA}=(a,b)$, $\overrightarrow{AP}=(x-a,y-b)$ だから $(a,b)\cdot (x-a,y-b)=0$ である。すなわち $a(x-a)+b(y-b)=0$ であり、整理して $ax+by=a^2+b^2=r^2$ を得る。よって接線の方程式は $\boxed{ax+by=r^2}$ である。

(2) 放物線 $C:y=x^2+1$ の $x=t$ における接点は $(t,t^2+1)$ であり、接線の傾きは $2t$ である。したがって接線は $y-(t^2+1)=2t(x-t)$ すなわち $2tx-y-t^2+1=0$ である。

この直線が円 $x^2+y^2=1$ に接するためには、原点からこの直線までの距離が1であればよい。よって $\frac{|1-t^2|}{\sqrt{4t^2+1}}=1$ である。両辺を2乗して $(1-t^2{)}^2=4t^2+1$ となる。整理すると $t^4-6t^2=0$ だから $t=0,t=\pm \sqrt{6}$ である。

それぞれの接線は $\boxed{y=1,y=2\sqrt{6}x-5,y=-2\sqrt{6}x-5}$ である。

(3) 正の $x$ 軸と交わる接線は $l_1:y=2\sqrt{6}x-5$ であり、$x$ 軸に平行な接線は $l_2:y=1$ である。$l_1$ と $l_2$ の交点は $1=2\sqrt{6}x-5$ より $x=\frac{\sqrt{6}}{2}$ である。また、放物線と $l_2$ は $x=0$ で接し、放物線と $l_1$ は $x=\sqrt{6}$ で接する。

求める領域では、$0\leqq x\leqq \frac{\sqrt{6}}{2}$ で下側の境界が $l_2$、$\frac{\sqrt{6}}{2}\leqq x\leqq \sqrt{6}$ で下側の境界が $l_1$ である。したがって面積は

である。すなわち ${\int }_0^{\sqrt{6}/2}{x}^{2}dx+{\int }_{\sqrt{6}/2}^{\sqrt{6}}(x^2-2\sqrt{6}x+6)dx$ となる。後半の被積分関数は $(x-\sqrt{6}{)}^2$ であるから、${\int }_0^{\sqrt{6}/2}{x}^{2}dx=\frac{\sqrt{6}}{4},$ ${\int }_{\sqrt{6}/2}^{\sqrt{6}}(x-\sqrt{6}{)}^{2}dx=\frac{\sqrt{6}}{4}$ である。よって求める面積は $\boxed{\frac{\sqrt{6}}{2}}$ である。