問題
はなる二等辺三角形とする．とし，線分に関してと対称な点をとする．次の問いに答えよ．
(1) とする．右図のように線分上に点をとる．点を固定し，線分上に点を折れ線の長さが最小となるようにとる．線分上にをみたす点をとれば，線分は点を通ることを示せ．
(2) とする．線分上に点を，線分上に点を折れ線の長さが最小となるようにとる．このときは直角となることを示せ．
(3) とする．線分上に点を，線分上に点を折れ線の長さが最小となるようにとる．このとき，折れ線の長さをを用いて表せ．
方針
折れ線の最短問題は反射法で直線距離に直す。点が線分 上で折れるときは、片方の端点を に関して反射すれば、折れ線の長さが直線距離に変わる。(1) は を に反射して を最短化する。(2) は固定した について同じ反射を行い、さらに を動かして から直線 への距離を最小にする。(3) は と をそれぞれ反射して、2回折れの最短を1本の弦の長さに帰着する。
解答
(1) 点 を直線 に関して対称移動した点が である。 は 上にあるので である。したがって、固定した に対して である。
右辺は、点 が直線 上を動くとき、 が一直線上に並ぶときに最小となる。よって最小となる は、直線 と直線 の交点である。
ここで は 上にあり、 を満たす。これは を直線 に関して対称移動した点である。したがって、直線 を直線 に関して反射すると直線 になる。反射で は動かないので、 は直線 上にある。よって線分 は点 を通る。
(2) まず を線分 上に固定する。 が 上にあるので、(1) と同様に である。したがって固定した に対して最短となるのは、 が一直線上にあるときである。このとき折れ線の長さは に等しい。
次に を線分 上で動かす。 が最小になるのは、 が から直線 に下ろした垂線の足であるときである。 なので、この垂線の足は線分 上にある。したがって最短となる では であり、 が一直線上にあるから は と同じ直線である。よって である。
(3) 点 を直線 に関して反射した点を 、点 を直線 に関して反射した点を とする。 は 上にあり、 は 上にあるので である。したがって である。
右辺は、 が一直線上に並ぶときに最小となる。 なので、その直線は線分 , と順に交わり、条件を満たす が存在する。
点 と はともに原点からの距離が1である。また、 の方向は から 、 の方向は から であるから、 である。したがって最短の折れ線の長さは弦 の長さであり、 である。よって である。