九州大学 2002年度
文系数学 第3問(c)

解答

(1) すでに $n-1$ 本の直線で平面が分割されているところへ、$n$ 本目の直線を加える。条件より、この新しい直線は既存の $n-1$ 本の直線と相異なる $n-1$ 個の点で交わる。したがって新しい直線はそれらの交点によって $n$ 個の部分に分けられる。

新しい直線の各部分は、それぞれ1つの領域を2つに分けるので、領域の個数は $n$ 個増える。よって $\boxed{L_n=L_{n-1}+n(n\geqq 2)}$ である。

また $L_1=2$ だから $L_n=2+{\sum }_{k=2}^{n}k=2+\left(\frac{n(n+1)}{2}-1\right)$ となる。したがって $\boxed{L_n=\frac{n^2+n+2}{2}}$ である。

(2) 1本の1回折れ線は平面を2つの領域に分けるので $H_1=2$ である。2本目の1回折れ線を加えると、条件より1本目と4点で交わる。したがって2本目は5個の部分に分かれ、領域は5個増える。よって $H_2=2+5=7$ である。

さらに3本目を加えると、既存の2本の1回折れ線とそれぞれ4点で交わり、合計8個の交点をもつ。条件より3本が同一点で交わることはないので、この8点はすべて異なる。したがって3本目は9個の部分に分かれ、領域は9個増える。よって $\boxed{H_3=7+9=16}$ である。

(3) 一般に、$n$ 本目の1回折れ線を加えるとする。既存の $n-1$ 本の1回折れ線とそれぞれ4点で交わり、3本が同一点で交わらないので、交点は合計 $4(n-1)$ 個である。したがって新しい1回折れ線は $4(n-1)+1$ 個の部分に分かれ、その数だけ領域が増える。よって $H_n=H_{n-1}+4(n-1)+1(n\geqq 2)$ である。 $H_1=2$ から $H_n=2+{\sum }_{k=2}^n\{4(k-1)+1\}=2+{\sum }_{j=1}^{n-1}(4j+1)$ である。計算して $H_n=2+4\frac{(n-1)n}{2}+(n-1)=2n^2-n+1$ を得る。したがって $\boxed{H_n=2n^2-n+1}$ である。