問題
(1) の面積は，に等しいことを示せ．ここで，はベクトルとベクトルとの内積を表す．必要ならば，2つのベクトルのなす角のコサインと内積の関係式を用いてよい．
(2) を正の定数とし，右図の平行六面体を考える．，とし，，とする．面上に点をとり，点から辺上に垂線を下ろし，点から辺上に垂線を下ろす．，とするとき，の面積を，，を用いて表せ．
(3) (2)で点が面上を動くとき，の面積の最小値を求めよ．
出典：九州大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問(a)
方針
(1) は三角形の面積 と内積公式 を組み合わせる。(2) は条件を満たすように座標を取り、, と表す。あとは (1) の公式を , に適用する。(3) は面積式が の平方根なので、 の取り得る範囲 で に最も近い値を選ぶ。
解答
(1) とする。三角形の面積は である。また内積の公式より
である。したがって
である。平方根を取って 倍すれば、題意の面積公式が得られる。
(2) 座標を と取る。, より とできる。面 は と平行であり、 は 方向、 は 方向である。したがって、, に対応する点 は と表される。
また であるから
である。よって である。(1) の公式を用いると である。平方根の中を整理して となる。したがって である。
(3) 点 は面 上を動くので である。したがって である。
面積を最小にするには、 を最小にすればよい。 であるから、 のときは とでき、このとき である。
一方、 のときは なので、 を に最も近づけるには とする。このとき である。
よって最小値は
である。