九州大学 2002年度
文系数学 第3問(b)

解答

(1) 和積公式 $\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$ に $A=n\theta ,B=(n-2)\theta$ を代入すると $\cos n\theta +\cos (n-2)\theta =2\cos (n-1)\theta \cos \theta$ である。したがって $\boxed{\cos n\theta =2\cos \theta \cos (n-1)\theta -\cos (n-2)\theta }$ を得る。

次に $p_1(x)=x,p_2(x)=2x^2-1$ とおく。さらに $n\geqq 3$ について $p_n(x)=2x{p}_{n-1}(x)-p_{n-2}(x)$ と定める。このとき上の漸化式により、帰納的に $\cos n\theta =p_n(\cos \theta )$ が成り立つ。また $p_n$ は $n$ 次式である。実際、$p_{n-1}$ の最高次項に $2x$ を掛けることで $n$ 次項が生じ、$p_{n-2}$ では打ち消されない。

(2) $p_1(x)=x$ は奇関数、$p_2(x)=2x^2-1$ は偶関数である。いま $p_{n-1}$ と $p_{n-2}$ が添字の偶奇に応じて偶関数・奇関数になっているとする。 $n$ が奇数のとき、$n-1$ は偶数なので $p_{n-1}$ は偶関数であり、$2x{p}_{n-1}(x)$ は奇関数である。また $n-2$ は奇数なので $p_{n-2}$ も奇関数である。したがって $p_n$ は奇関数である。 $n$ が偶数のときも同様に、$2x{p}_{n-1}(x)$ と $p_{n-2}(x)$ はともに偶関数であり、$p_n$ は偶関数である。よって $\boxed{n\text{ が偶数なら }{p}_n\text{ は偶関数、奇数なら奇関数}}$ である。

(3) (2) より、$p_n$ の定数項は $n$ が奇数なら0であり、1次の項の係数は $n$ が偶数なら0である。そこで、$p_{2m}$ の定数項を $a_m$、$p_{2m-1}$ の1次の項の係数を $b_m$ とおく。 $p_2(x)=2x^2-1$, $p_1(x)=x$ より $a_1=-1,b_1=1$ である。

漸化式 $p_{2m+2}=2x{p}_{2m+1}-p_{2m}$ の定数項を見ると、$2x{p}_{2m+1}$ の定数項は0であるから $a_{m+1}=-a_m$ である。よって $a_m=(-1{)}^m$ である。

また $p_{2m+1}=2x{p}_{2m}-p_{2m-1}$ の1次の係数を見ると、$2x{p}_{2m}$ の1次係数は $2a_m$ であるから $b_{m+1}=2a_m-b_m$ である。$a_m=(-1{)}^m$ と $b_1=1$ から帰納的に $b_m=(2m-1)(-1{)}^{m-1}$ が得られる。

したがって、定数項は

であり、1次の項の係数は

である。