九州大学 2001年度理系数学第5問(b) 解答・解説

問題

(1) $e$ を自然対数の底とし，

f (x) = e^{x} - (1 + x + \frac{1}{2} x^{2})

とおく． $0 < x < 1$ においては $0 < f (x) < x^{3}$ が成り立つことを示せ．また $n \to \infty lim n^{2} f (\frac{1}{n}) = 0$ を示せ．必要であれば $e < 3$ を使ってよい．

(2) 関数 $g (x) = e^{x}$ を考える．区間 $0 ≦ x ≦ 1$ を $n$ 個の小区間に等分して，各小区間を底辺，小区間の左端の点における関数 $g (x)$ の値を高さとする長方形の面積の和を $K_{n}$ とする． $n \to \infty$ のとき，

n^{k} \int_{0}^{1} g (x) d x - K_{n}

が有限の値に収束するような最大の自然数 $k$ とそのときの極限値を求めよ．

出典：九州大学 2001年度前期日程第2次学力試験理系第5問(b)

方針

(1)は $e^{x}$ と2次式との差を、導関数の符号で評価する。下からの正値性は $f^{''} (x) = e^{x} - 1 > 0$ から、上からの $x^{3}$ 評価は $h (x) = x^{3} - f (x)$ を作り、 $h^{'''} (x) = 6 - e^{x} > 0$ を使って示す。(2)では左端長方形和 $K_{n}$ を等比数列で表し、 $e^{1/ n} = 1 + 1/ n + 1/ (2 n^{2}) + o (1/ n^{2})$ に相当する評価を(1)から導く。誤差は $(e - 1) / (2 n)$ 程度なので、最大の $k$ は1になる。

解答

(1)

$f (x) = e^{x} - (1 + x + \frac{1}{2} x^{2})$ とおく。 $f (0) = 0$ であり、 $f^{'} (x) = e^{x} - 1 - x, f^{''} (x) = e^{x} - 1$ である。 $0 < x < 1$ では $f^{''} (x) > 0$ なので $f^{'} (x) > f^{'} (0) = 0$ であり、さらに $f (x) > f (0) = 0$ である。よって $f (x) > 0$ である。

次に $h (x) = x^{3} - f (x)$ とおく。すると $h (0) = h^{'} (0) = h^{''} (0) = 0$ であり、 $h^{'''} (x) = 6 - e^{x}$ である。 $0 < x < 1$ では $e^{x} < e < 3$ としてよいから $h^{'''} (x) > 0$ である。したがって $h^{''} (x) > 0$ 、 $h^{'} (x) > 0$ 、 $h (x) > 0$ が順に従う。よって $f (x) < x^{3}$ である。以上より $0 < f (x) < x^{3} (0 < x < 1)$ が示された。 $x = 1/ n$ とすると $0 < n^{2} f (\frac{1}{n}) < n^{2} \cdot \frac{1}{n ^{3}} = \frac{1}{n}$ である。はさみうちの原理より $lim_{n \to \infty} n^{2} f (\frac{1}{n}) = 0$ である。

(2)

左端を高さにする長方形和は $K_{n} = \frac{1}{n} \sum_{j = 0}^{n - 1} e^{j / n}$ である。これは等比数列の和なので $K_{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{e - 1}{e ^{1/ n} - 1} = (e - 1) \frac{1/ n}{e ^{1/ n} - 1}$ である。一方 $\int_{0}^{1} e^{x} d x = e - 1$ である。

(1)より、 $h = 1/ n$ とおくと $e^{h} = 1 + h + \frac{1}{2} h^{2} + ε_{n}$ で、 $n^{2} ε_{n} \to 0$ である。すなわち $ε_{n} = o (1/ n^{2})$ である。したがって $e^{1/ n} - 1 = \frac{1}{n} + \frac{1}{2 n ^{2}} + ε_{n}$ であり、 $\frac{1/ n}{e ^{1/ n} - 1} = \frac{1}{1 + 1/ ( 2 n ) + n ε _{n}}$ となる。ここで $n ε_{n} \to 0$ だから

1 - \frac{1/ n}{e ^{1/ n} - 1} = \frac{1/ ( 2 n ) + n ε _{n}}{1 + 1/ ( 2 n ) + n ε _{n}}

である。両辺に $n$ を掛けると $n (1 - \frac{1/ n}{e ^{1/ n} - 1}) \to \frac{1}{2}$ である。

よって

n (\int_{0}^{1} e^{x} d x - K_{n}) = (e - 1) n (1 - \frac{1/ n}{e ^{1/ n} - 1}) \to \frac{e - 1}{2}

である。極限値は正の有限値なので、 $k = 1$ では有限値に収束する。一方、 $k = 2$ では上の差にさらに $n$ を掛けることになり無限大へ発散する。したがって最大の自然数は $k = 1$ で、そのときの極限値は $\frac{e - 1}{2}$ である。

九州大学 2001年度理系数学 第5問(b)

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2001年度
理系数学第5問(b)