問題
3次関数のグラフをとする．
(1) 平面上の点に関する，点に対称な点の座標を求めよ．
(2) はこの上のある点に関して点対称であることを示せ．
(3) 直線に関する，点に対称な点の座標を求めよ．ただし，，は共には0でないとする．
(4) は原点を通るどんな直線に関しても線対称でないことを示せ．
方針
(1)(2)は3次関数の変曲点対称を座標計算で示す。 とおいて を計算し、 の奇関数になることを確認する。(3)は直線 の法線ベクトルが であることを使い、点から直線へ下ろした垂線方向に2倍戻す。(4)では(3)の反射公式をグラフ上の点 に適用する。 なら反射後の が の3次式になり、 とすると9次の項が出て矛盾する。、 も個別に退ける。
解答
(1)
点 の に関する対称点を とする。 は2点の中点だから である。よって である。
(2)
とおく。 として とおくと である。 より なので となり、これは の奇関数である。
したがって である。これはグラフ上の点 と が に関して対称であることを意味する。よって はこの点に関して点対称である。
(3)
直線 の法線方向は である。点 からこの直線へ向かう法線方向の成分は である。反射点は、この法線方向の成分を2倍引いた点なので である。したがって対称点は
である。整理すると
となる。
(4)
とする。仮に が直線 に関して線対称であるとする。グラフ上の任意の点 の対称点を とすれば、その点も 上にあるので でなければならない。
まず とする。(3)の公式より である。 は3次式であり、 だから、 は の3次式である。一方 は高々3次式である。ところが は、 が3次式であるため、最高次に9次の項をもつ。この9次の係数は0でない。これは が成り立つことに反する。
次に のとき、反射軸は である。すると の対称点は であり、これが常にグラフ上にあるには がすべての で成り立つ必要がある。しかし3次関数 は恒等的に0ではないので不可能である。
最後に のとき、反射軸は である。すると が常にグラフ上にある必要があり、 がすべての で成り立つはずである。しかし には の項が残るため、恒等的に0にはならない。
以上より、 は原点を通るどんな直線に関しても線対称でない。