九州大学 2001年度
理系数学 第3問

解答

(1)

高さ $z=t$ の平面で切る。円柱の中心軸は $x$ 軸で、半径が $r$ だから $y^2+z^2\leqq r^2$ である。したがって $z=t$ では $|y|\leqq \sqrt{r^2-t^2}$ となる。

一方、正四角柱の $xy$ 平面による切り口は、対角線が $x$ 軸と $y$ 軸で、対角線の半分の長さが $2/r$ である。したがってその正方形は $|x|+|y|\leqq \frac{2}{r}$ で表される。

固定した $y$ に対して、正四角柱内で許される $x$ の長さは $2\left(\frac{2}{r}-|y|\right)$ である。ここで $0<r\leqq \sqrt{2}$ なので $r\leqq 2/r$ であり、$|y|\leqq \sqrt{r^2-t^2}\leqq r$ の範囲ではこの長さは非負である。

よって断面積 $A(t)$ は

である。対称性を用いて計算すると $A(t)=4{\int }_0^{\sqrt{r^2-t^2}}\left(\frac{2}{r}-y\right)dy$ $=\frac{8}{r}\sqrt{r^2-t^2}-2(r^2-t^2)$ である。

(2)

体積は断面積を $t$ について積分して $V(r)={\int }_{-r}^r\left\{\frac{8}{r}\sqrt{r^2-t^2}-2(r^2-t^2)\right\}dt$ である。ここで ${\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-t^2}dt=\frac{\pi r^2}{2}$ であり、これは半径 $r$ の半円の面積である。また

である。

したがって

である。

(3)

$V(r)=4\pi r-\frac{8}{3}{r}^3$ より $V^{\prime }(r)=4\pi -8r^2$ である。$V^{\prime }(r)=0$ となるのは $r=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ である。この値は $0<r\leqq \sqrt{2}$ に含まれる。$V^{\prime }(r)$ はこの値より小さいところで正、大きいところで負なので、ここで最大となる。

最大値は

であり、$r^2=\pi /2$ を用いて $V_{\max }=\frac{8\pi }{3}\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ である。

別解。(1)の断面積は、正方形 $|x|+|y|\leqq 2/r$ を横に切った長さを使ったが、対称性により第1象限だけを4倍してもよい。第1象限では $0\leqq y\leqq \sqrt{r^2-t^2}$、$0\leqq x\leqq 2/r-y$ なので、面積は $4{\int }_0^{\sqrt{r^2-t^2}}(2/r-y)dy$ となり同じ式に戻る。