問題
サイコロを回振って，出た目を小さい方から順に並べ，第番目を とする．
(1) のとき，3の目が3回，5の目が2回出たとする．このときのとりうる値をすべて求めよ．
(2) 一般のに対して，となる確率 を求めよ．
(3) 一般のに対して，の期待値を求めよ．
(4) を求めよ．ここで，は自然対数を表す．
(5) 一般のに対して，期待値を求めよ．
出典：九州大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(b)
方針
は最小値なので、分布や期待値は から出す。極限では が となり、最大項 と同じ指数的な大きさをもつことを上下から挟む。最後の は、サイコロの目を と反転する対称性で求める。
解答
(1)
3の目が3回、5の目が2回出ている。残り2回の目は3でも5でもない。残りの目が小さい側に入れば4番目は3になり、4が入れば4番目が4になる場合があり、残りの目が大きい側に入れば4番目は5になる。したがって がすべて起こり得る値である。
(2)
は、すべての目が2以上で、しかもすべての目が3以上ではないことを意味する。よって であり、 である。
(3)
は1から6までの整数値をとるので である。また は、 回すべてで 以上の目が出ることだから である。したがって である。
(4)
(3)より である。この和の最大項は であるから である。自然対数をとると である。全体を で割って とすると、はさみうちより である。
(5)
出た目をすべて に置き換えると、各結果の起こりやすさは変わらない。この対応で最小値 は に移る。したがって である。よって である。