九州大学 2001年度
理系数学 第4問(a)

解答

(1)

$a\ne 0$ とする。与式 $az\overline{z}+\overline{b}z+b\overline{z}+c=0$ を平方完成すると $|az+b{|}^2=|b{|}^2-ac$ となる。仮定より右辺は正であるから $\left|z+\frac{b}{a}\right|=\frac{\sqrt{|b{|}^2-ac}}{|a|}$ である。したがって点 $z$ の描く図形は $\text{中心 }-\frac{b}{a},\text{半径 }\frac{\sqrt{|b{|}^2-ac}}{|a|}$ の円である。

(2)

$(z-p)(\overline{z}-\overline{q})$ の共役は $(\overline{z}-\overline{p})(z-q)=(z-q)(\overline{z}-\overline{p})$ である。したがって与式は $d(z-p)(\overline{z}-\overline{q})$ が実数であることと同値である。 $z\ne q$ のとき、両辺を $|z-q{|}^2$ で割ると $d\frac{z-p}{z-q}$ が実数である、という条件になる。これは $(z-p)/(z-q)$ の偏角が一定であることを表す。すなわち、点 $z$ から2点 $p,q$ を見る角が一定である。 $d$ が実数のときは、$(z-p)/(z-q)$ も実数である。これは $z,p,q$ が一直線上にあることを意味する。したがって図形は2点 $p,q$ を通る直線である。 $d$ が実数でないときは、点 $p,q$ を見込む角が0でも $\pi$ でもない一定角である。一定の角で線分 $pq$ を見込む点の軌跡は、$p,q$ を通る円である。なお $z=p$ と $z=q$ も元の方程式を満たすので、円は2点 $p,q$ を通る。

よって、$d$ が実数なら2点 $p,q$ を通る直線、$d$ が実数でないなら2点 $p,q$ を通る円である。