九州大学 2001年度
理系数学 第5問(a)

解答

(1)

接線の傾きは $f^{\prime }(t)$ であり、角 $\theta (t)$ は $\tan \theta (t)=f^{\prime }(t)$ を満たす。$-\pi /2<\theta <\pi /2$ なので $\cos \theta >0$ である。両辺を $t$ で微分すると $\frac{{\theta }^{\prime }(t)}{{\cos }^2\theta (t)}=f^{\prime \prime }(t)$ である。仮定より $f^{\prime \prime }(t)>0$、また ${\cos }^2\theta (t)>0$ だから ${\theta }^{\prime }(t)>0$ である。したがって $\theta (t)$ はつねに増加する。

(2)

接線方向の単位ベクトルは $(\cos \theta ,\sin \theta )$ である。これに垂直で、グラフの下側へ向かう単位ベクトルは $(\sin \theta ,-\cos \theta )$ である。点 $Q$ は $P(t,f(t))$ からこの方向へ距離1だけ進んだ点なので $Q=(t,f(t))+(\sin \theta (t),-\cos \theta (t))$ である。したがって $\alpha (t)=t+\sin \theta (t),\beta (t)=f(t)-\cos \theta (t)$ である。

(3)

まず $P$ の速度ベクトルは $P^{\prime }(t)=(1,f^{\prime }(t))=(1,\tan \theta )$ である。よってその大きさは $|P^{\prime }(t)|=\sqrt{1+{\tan }^2\theta }=\frac{1}{\cos \theta }$ である。したがって $L_1={\int }_a^b\frac{dt}{\cos \theta (t)}$ である。

次に $Q=P+(\sin \theta ,-\cos \theta )$ を微分する。すると $Q^{\prime }=P^{\prime }+{\theta }^{\prime }(\cos \theta ,\sin \theta )$ である。一方 $P^{\prime }=\frac{1}{\cos \theta }(\cos \theta ,\sin \theta )$ なので $Q^{\prime }=\left(\frac{1}{\cos \theta }+{\theta }^{\prime }\right)(\cos \theta ,\sin \theta )$ となる。(1)より ${\theta }^{\prime }>0$ であり、$\cos \theta >0$ なので係数は正である。したがって $|Q^{\prime }|=\frac{1}{\cos \theta }+{\theta }^{\prime }$ である。

よって $L_2={\int }_a^b\left(\frac{1}{\cos \theta (t)}+{\theta }^{\prime }(t)\right)dt$ であり、差をとると $L_2-L_1={\int }_a^b{\theta }^{\prime }(t)dt=\theta (b)-\theta (a)$ である。

別解。(3)は幾何的にも解釈できる。$Q$ は $P$ から法線方向に一定距離1だけ離れた曲線であり、接線方向が角度 $\theta$ だけ回転すると、外側の曲線長は元の曲線長よりその角度変化分だけ長くなる。ここでは $\theta$ が単調増加するので、増加分はそのまま $\theta (b)-\theta (a)$ である。上の微分計算はこの事実を式で確かめたものである。