問題
サイコロを回振って，出た目を小さい方から順に並べ，第番目を とする．
(1) のとき，3の目が3回，5の目が2回出たとする．このときのとりうる値をすべて求めよ．
(2) 一般のに対して，となる確率 を求めよ．
(3) 一般のに対して，の期待値を求めよ．
(4) 一般のに対して，期待値を求めよ．
方針
並べ替えた は最小値、 は最大値である。(1)は既に出た3と5の個数を固定し、残り2個の入り方で4番目がどう変わるかを調べる。(2)(3)は最小値について、 を使うと簡潔になる。(4)はサイコロの目を と対応させる対称性により、最大値の期待値を最小値の期待値から求める。
解答
(1)
7回のうち、3の目が3回、5の目が2回出ている。残り2回の目は3でも5でもない。
残り2回の目がどちらも3より小さい場合、並べると4番目は3になる。残り2回の目の一方または両方が4で、5より小さい位置に入る場合、4番目は3または4になり得る。残り2回の目がどちらも5より大きい場合には、並びは の形になるので4番目は5になる。
したがって のとりうる値は である。
(2)
は出た目の最小値である。 となるのは、すべての目が2以上であり、かつすべての目が3以上ではないときである。よって である。各回は独立なので
である。したがって である。
(3)
正の整数値をとる確率変数について が成り立つ。ここで は、すべての目が 以上であることを意味するから である。したがって
である。
(4)
出た目をすべて に置き換えると、サイコロの各目の出やすさは変わらない。この対応では、最小値 は に対応する。したがって期待値も等しく である。よって である。
別解。(4)は最大値について直接求めてもよい。 はすべての目が 以下であることなので、 の分布は の分布を目の反転で写したものになっている。したがって の期待値は常に中央の和 、、 に対応して7となる。