九州大学 2001年度
文系数学 第3問(c)

解答

$A$ を原点、半直線 $l$ を $x$ 軸の正の向きにとる。このとき $B=(1-r,0),C=(1,0),D=(1+r,0)$ である。$BD$ を直径とする円の中心は $(1,0)$、半径は $r$ である。

半直線 $m$ と $l$ のなす角を $\varphi$ とする。$m$ はこの円に接するので、中心 $(1,0)$ から直線 $m$ までの距離が $r$ である。したがって $\sin \varphi =r,\cos \varphi =\sqrt{1-r^2}$ である。$m$ 上で $A$ から距離 $s$ の点は $(s\cos \varphi ,s\sin \varphi )$ と表される。

(1)

$E,F$ を通り $l$ に接する円を考える。点 $A$ からこの円へ引いた接線は $AP$、割線は $AEF$ であるから、接線と割線の関係より $A{P}^2=AE\cdot AF$ である。ここで $AE=1-r$、$AF=1$ なので $A{P}^2=1-r$ である。$AP>0$ より $AP=\sqrt{1-r}$ である。

(2)

$C=(1,0)$、$F=(\cos \varphi ,\sin \varphi )$ である。したがって $C{F}^2=(1-\cos \varphi {)}^2+(0-\sin \varphi {)}^2$ $=1-2\cos \varphi +{\cos }^2\varphi +{\sin }^2\varphi =2-2\cos \varphi$ である。$\cos \varphi =\sqrt{1-r^2}$ より $C{F}^2=2-2\sqrt{1-r^2}$ であり、$CF>0$ だから $CF=\sqrt{2-2\sqrt{1-r^2}}$ である。

(3)

同様に、$F,G$ を通り $l$ に接する円について、点 $A$ からの接線と割線の関係を用いると $A{Q}^2=AF\cdot AG=1\cdot (1+r)=1+r$ である。よって $AQ=\sqrt{1+r}$ である。(1)より $AP=\sqrt{1-r}$ で、$Q$ は $P$ より $A$ から遠い側にあるから $PQ=AQ-AP=\sqrt{1+r}-\sqrt{1-r}$ である。

これを2乗すると $P{Q}^2=(\sqrt{1+r}-\sqrt{1-r}{)}^2$ $=2-2\sqrt{(1+r)(1-r)}=2-2\sqrt{1-r^2}$ である。(2)で求めた $C{F}^2$ と一致する。$PQ>0$、$CF>0$ なので $PQ=CF$ である。

別解。(1)と(3)の接点位置は座標計算でも求められる。$l$ に接する円の中心を $(p,\rho )$ とおけば、点 $(s\cos \varphi ,s\sin \varphi )$ を通る条件は $(s\cos \varphi -p{)}^2+(s\sin \varphi -\rho {)}^2={\rho }^2$ である。$s=1-r,1$ の2式を引くと $p^2=1-r$ が得られ、$s=1,1+r$ では $p^2=1+r$ が得られる。これは接線と割線の関係と同じ内容である。