九州大学 2001年度
文系数学 第3問(b)

解答

(1)

自然数 $a,b$ が互いに素であるとは、$a$ と $b$ の正の公約数が1だけであること、すなわち最大公約数が1であることをいう。

(2)

$a,b$ が互いに素であるとする。もし $a^2$ と $b^2$ が1より大きい公約数をもつなら、ある素数 $p$ が $a^2$ と $b^2$ の両方を割り切る。素数 $p$ が $a^2$ を割り切るなら $p$ は $a$ を割り切り、同様に $p$ は $b$ も割り切る。これは $a,b$ が互いに素であることに反する。

したがって $a^2$ と $b^2$ は互いに素である。

(3)

$\sqrt{n}$ が有理数であるとする。このとき互いに素な自然数 $p,q$ を用いて $\sqrt{n}=\frac{p}{q}$ と表せる。両辺を2乗すると $p^2=n{q}^2$ である。したがって $q^2$ は $p^2$ を割り切る。

しかし $p,q$ は互いに素なので、(2)より $p^2,q^2$ も互いに素である。よって $q^2$ が $p^2$ を割り切るには $q^2=1$、すなわち $q=1$ でなければならない。したがって $\sqrt{n}=p$ であり、$\sqrt{n}$ は自然数である。

(4)

(3)より、$\sqrt{n}$、$\sqrt{n+1}$、$\sqrt{n+2}$ が有理数であることは、それぞれ $n$、$n+1$、$n+2$ が平方数であることと同値である。

ところが、正の平方数を小さい順に並べると、隣り合う平方数の差は $(k+1{)}^2-k^2=2k+1$ であり、$k\geqq 1$ では $2k+1\geqq 3$ である。したがって、差が1または2である2つの自然数がともに平方数になることはない。

よって連続する3つの自然数 $n,n+1,n+2$ の中に平方数は高々1つしかない。したがって $\sqrt{n}$、$\sqrt{n+1}$、$\sqrt{n+2}$ のうち少なくとも2つは無理数である。

別解。(4)は背理法でもよい。もし3つの平方根のうち2つ以上が有理数なら、(3)より対応する2つの整数は平方数である。その2つは差が1または2の平方数になるが、正の平方数どうしの差は最小でも $4-1=3$ であるため矛盾する。