九州大学 2001年度
文系数学 第3問(a)

解答

(1)

$a_1=2>0$ である。また任意の実数 $x$ について $x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ である。したがって $a_n>0$ なら $a_{n+1}=a_n^2-a_n+1>0$ である。数学的帰納法により、すべての $n$ について $a_n>0$ である。

(2)

$P_n=a_1{a}_2\cdots a_n$ とする。まず $a_2=a_1^2-a_1+1=4-2+1=3=P_1+1$ である。

ある $n$ で $a_n=P_{n-1}+1$ が成り立つと仮定する。このとき $a_{n+1}=a_n^2-a_n+1=a_n(a_n-1)+1$ であり、仮定より $a_n-1=P_{n-1}$ だから $a_{n+1}=a_n{P}_{n-1}+1=P_n+1$ である。よって数学的帰納法により、各 $n$ について $a_{n+1}=P_n+1$ が成り立つ。

(3)

順に計算すると $a_1=2,a_2=3,a_3=7,a_4=43$ である。したがって $S_1=\frac{1}{2}$ であり、$S_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$ である。また $S_3=\frac{5}{6}+\frac{1}{7}=\frac{41}{42}$ であり、$S_4=\frac{41}{42}+\frac{1}{43}=\frac{1805}{1806}$ である。

(4)

便宜上 $P_0=1$ とおく。(2)より $k\geqq 1$ について $a_k=P_{k-1}+1$ であるから $a_k-1=P_{k-1}$ である。すると

となる。

よって

であり、途中の項が打ち消し合って $S_n=1-\frac{1}{P_n}$ である。

別解。(4)は $S_1,S_2,S_3,S_4$ の値からも形を予想できる。実際、$P_1=2$、$P_2=6$、$P_3=42$、$P_4=1806$ なので、(3)の答えはすべて $1-1/P_n$ になっている。この予想を上の差の分解で証明すればよい。