問題
複素数平面上の点を考える．
(1) 実数，と複素数がをみたすとき
をみたす点はのとき，どのような図形を描くか．ただし，はに共役な複素数を表す．
(2) 0でない複素数に対して
をみたす点はどのような図形を描くか．
出典：九州大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問(a)
方針
(1)は を用いて平方完成し、複素数の絶対値の形 に直す。(2)では左辺が右辺の共役になっていることを見抜き、 が実数である条件に変える。、 とおけば虚部が となるため、 なら直線、 なら原点と を通る円になる。
解答
(1)
とする。与式 の両辺に を掛けると である。左辺のはじめの3項は に等しいので を得る。
仮定より右辺は正である。さらに だから、点 は を満たす。したがって図形は の円である。
(2)
の共役は である。したがって与式 は、 がその共役に等しい、すなわち実数であることと同値である。 、 とおく。すると であるから、 の虚部は である。よって条件は である。
もし なら、 より なので となる。したがって図形は実軸である。
もし なら である。これは円の方程式であり、 と を通る。したがって図形は原点と を通る円である。