九州大学 2001年度文系数学第1問解答・解説

問題

関数 $f (x) = \frac{2}{3} a x^{3} + (a + b) x^{2} + (b + 1) x$ を考える．

(1) 関数 $f (x)$ がつねに増加するための $a$ ， $b$ の条件を求め，その範囲を $ab$ 平面上に図示せよ．

(2) $a = 0$ のとき，関数 $f (x)$ が $x > - 1$ においてつねに増加するための $b$ の条件を求めよ．

(3) 関数 $f (x)$ が $x > - 1$ においてつねに増加するための $a$ ， $b$ の条件を求め，その範囲を $ab$ 平面上に図示せよ．

出典：九州大学 2001年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

増加条件は導関数 $f^{'} (x)$ が対象区間で常に非負であることに直す。(1)では $f^{'} (x)$ が2次式なので、全実数で非負となる条件を、上に開くことと判別式が0以下であることから求める。ただし $a = 0$ の退化も確認する。(2)は $a = 0$ の1次式を $x > - 1$ で調べる。(3)では $u = x + 1 > 0$ と置いて半直線上の2次式 $2 a u^{2} + 2 (b - a) u + 1 - b$ の最小値を調べ、 $a < 0$ 、 $a = 0$ 、 $a > 0$ で頂点が範囲内に入るかを分ける。

解答

(1)

$f^{'} (x) = 2 a x^{2} + 2 (a + b) x + b + 1$ である。 $f (x)$ がすべての実数でつねに増加するための必要十分条件は、すべての実数 $x$ について $f^{'} (x) ≧ 0$ となることである。

まず $a = 0$ のとき、 $f^{'} (x) = 2 b x + b + 1$ である。これが全実数で非負となるには傾きが0でなければならないので $b = 0$ である。このとき $f^{'} (x) = 1$ で条件を満たす。

次に $a > 0$ のとき、2次式が全実数で非負となるには判別式が0以下であればよい。判別式を4で割ったものは $(a + b)^{2} - 2 a (b + 1) = a^{2} + b^{2} - 2 a$ である。よって条件は $a^{2} + b^{2} - 2 a ≦ 0$ すなわち $(a - 1)^{2} + b^{2} ≦ 1$ である。この条件は $a = 0$ の場合には $b = 0$ だけを含む。したがって求める範囲は $(a - 1)^{2} + b^{2} ≦ 1$ であり、 $ab$ 平面では中心 $(1, 0)$ 、半径1の円の内部および周である。

(2)

$a = 0$ のとき $f^{'} (x) = 2 b x + b + 1$ である。 $u = x + 1$ とおくと、 $x > - 1$ は $u > 0$ であり、 $f^{'} (x) = 2 b (u - 1) + b + 1 = 2 b u + 1 - b$ となる。

もし $b < 0$ なら、 $u \to \infty$ で $2 b u + 1 - b$ は負になるので不可である。 $b ≧ 0$ のとき、この式は $u$ について増加または一定であり、 $u \to 0 +$ での値は $1 - b$ に近づく。したがって全ての $u > 0$ で非負となる条件は $1 - b ≧ 0$ である。よって $0 ≦ b ≦ 1$ である。

(3)

$u = x + 1$ とおくと $u > 0$ であり、 $f^{'} (x) = 2 a (u - 1)^{2} + 2 (a + b) (u - 1) + b + 1$ $= 2 a u^{2} + 2 (b - a) u + 1 - b$ となる。この2次式を $Q (u)$ とおく。 $a < 0$ なら、 $u \to \infty$ で $Q (u) \to - \infty$ となるため条件を満たさない。 $a = 0$ のときは(2)より $0 ≦ b ≦ 1$ である。

以下 $a > 0$ とする。 $Q (u)$ の頂点の $u$ 座標は $u = \frac{a - b}{2 a}$ である。まず $b ≧ a$ のとき、頂点は $u ≦ 0$ 側にあるので、 $u > 0$ での最小は $u \to 0 +$ の近くで決まる。したがって必要十分条件は $1 - b ≧ 0$ であり、 $0 < a ≦ b ≦ 1$ を得る。

次に $b < a$ のとき、頂点は $u > 0$ にあるので、頂点での値が非負であることが必要十分である。すなわち $1 - b - \frac{( b - a ) ^{2}}{2 a} ≧ 0$ である。 $a > 0$ だから整理して $2 a (1 - b) - (b - a)^{2} ≧ 0$ $2 a - a^{2} - b^{2} ≧ 0$ すなわち $(a - 1)^{2} + b^{2} ≦ 1$ である。

以上より、求める条件は $0 < a ≦ b ≦ 1$ または $a > 0, b < a, (a - 1)^{2} + b^{2} ≦ 1$ に、 $a = 0, 0 ≦ b ≦ 1$ を合わせたものである。まとめて書けば、 $ab$ 平面で、線分 $a = 0, 0 ≦ b ≦ 1$ 、三角形部分 $0 < a ≦ b ≦ 1$ 、および円 $(a - 1)^{2} + b^{2} ≦ 1$ のうち $a > 0, b < a$ の部分を合わせた範囲である。

九州大学 2001年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2001年度
文系数学第1問