問題
3次関数のグラフをとする．
(1) 平面上の点に関する，点に対称な点の座標を求めよ．
(2) はこの上のある点に関して点対称であることを示せ．
(3) 軸に平行な直線に関する，点に対称な点の座標を求めよ．
(4) は軸に平行などんな直線に関しても線対称でないことを示せ．
方針
点対称と線対称は、まず座標公式を作ってからグラフに適用する。(2)では3次関数を変曲点の 座標 のまわりに平行移動し、差 が の奇関数になることを示す。(4)では、仮に縦直線 に関して線対称なら がすべての で成り立つはずなので、3次の項が消えないことから矛盾を出す。
解答
(1)
点 とその対称点を とする。点 がこの2点の中点になるので である。したがって である。
(2)
とおく。3次関数の2次の項を消すために とおく。 として を計算すると である。 だから2次の項は消え、 となる。右辺は の奇関数である。
したがって、グラフ上の点 に対して、点 は を満たす。これは2点が に関して対称であることを意味する。よって はこの点に関して点対称である。
(3)
直線 に関する対称では、 座標は変わらず、 座標だけが をはさんで反対側へ移る。したがって点 の対称点は である。
(4)
もし が直線 に関して線対称であるなら、任意の実数 について、点 の対称点 も 上にある。したがって がすべての で成り立つはずである。
ところが を計算すると、最高次の項として が現れる。これは恒等的に0にはならない。したがって はすべての では成り立たない。
よって は 軸に平行などんな直線に関しても線対称でない。
別解。(4)は3次関数のグラフが縦線と高々1点で交わることからも見える。縦線 に関して線対称なら、 と の高さが常に等しくなければならないので、関数 は の偶関数になる。しかし3次関数では平行移動しても の項が残るため、偶関数にはならない。