問題
空間内に3点，，をとる．
(1) 空間内の点がを満たしながら動くとき，この点はある定点から一定の距離にあることを示せ．
(2) (1)における定点は3点，，を通る平面上にあることを示せ．
(3) (1)におけるについて，四面体の体積の最大値を求めよ．
出典：九州大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問(c)
方針
点 とおいて内積条件を座標で展開する。2次式を平方完成すると球面の方程式になり、中心 と半径が分かる。(2)では3点 を通る平面を切片形で書き、 を代入して確認する。(3)では四面体の底面を と見て、体積が底面積と高さで決まることを使う。球の中心が底面の平面上にあるため、高さの最大値は球の半径に等しい。
解答
(1)
とおく。このとき であり、 だから である。
したがって条件 は すなわち である。3で割って平方完成すると より
となる。よって は定点 から一定距離 にある。
(2)
3点 を通る平面は切片形で と書ける。ここに を代入すると である。したがって は3点 を通る平面上にある。
(3)
四面体 の底面を と見る。まず であるから、底面積は
である。
(2)より球の中心 は底面の平面上にある。したがって、球面上の点 からこの平面までの距離の最大値は球の半径 である。よって体積の最大値は である。