九州大学 2000年度
文系数学 第1問

解答

(1)

直線 $x=1$ 上の動点を $P=(1,u)$ とおく。円 $C$ は中心 $(1/2,0)$、半径 $1/2$ なので ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+y^2=\frac{1}{4}$ すなわち $x^2+y^2=x$ である。

線分 $OP$ 上の点は $(\lambda ,\lambda u)=\lambda P$ と書ける。これが円 $C$ 上にあるとき ${\lambda }^2+{\lambda }^2{u}^2=\lambda$ である。$Q\ne O$ なので $\lambda \ne 0$ であり、$\lambda =\frac{1}{1+u^2}$ である。したがって $OQ=\lambda OP=\frac{1}{1+u^2}\sqrt{1+u^2}=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$ である。一方 $OP=\sqrt{1+u^2}$ だから $PQ=OP-OQ=\sqrt{1+u^2}-\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}=\frac{u^2}{\sqrt{1+u^2}}$ である。

点 $R$ は $OP$ 上にあり、$OR=PQ$ を満たすので、$OP$ 方向の単位ベクトルを用いて $R=\frac{PQ}{OP}P=\frac{u^2}{1+u^2}(1,u)$ である。よって $x=\frac{u^2}{1+u^2},y=\frac{u^3}{1+u^2}$ である。この2式から $1-x=\frac{1}{1+u^2}$ であり、したがって

である。一方 $x^3={\left(\frac{u^2}{1+u^2}\right)}^3=\frac{u^6}{(1+u^2{)}^3}$ だから、求める軌跡の方程式は $y^2(1-x)=x^3$ である。

(2)

点 $(1/m,1/n)$ がこの曲線上にある条件は $\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{m}\right)=\frac{1}{m^3}$ である。整理すると $\frac{m-1}{m{n}^2}=\frac{1}{m^3}$ より $n^2=m^2(m-1)$ である。

ここで $m$ と $m-1$ は互いに素である。したがって $m^2(m-1)$ が平方数であるためには、$m-1$ 自身が平方数でなければならない。そこで $m-1=l^2$ とおくと、$l$ は自然数で $m=l^2+1$ である。また $n^2=m^2{l}^2$ より $n=ml=l(l^2+1)$ である。

条件 $m,n\leqq 100$ から $l(l^2+1)\leqq 100$ である。これを満たす自然数は $l=1,2,3,4$ であり、$l=5$ では $5(25+1)=130>100$ となる。したがって求める組は $(m,n)=(2,2),(5,10),(10,30),(17,68)$ である。

別解。角度を用いると軌跡の形がさらに見やすい。直線 $OP$ が $x$ 軸となす角を $\theta$ とする。点 $P$ は直線 $x=1$ 上にあるので $OP=\frac{1}{\cos \theta }$ である。また円 $C$ は線分 $O(0,0)$ と $(1,0)$ を直径とする円であるから、半直線 $OP$ との原点でない交点 $Q$ について $OQ=\cos \theta$ である。したがって

である。よって

となる。このとき

であり、同じ軌跡方程式を得る。