問題
正五角形の頂点を反時計回りに，，，，とし，線分との交点を，との交点を，との交点を，との交点を，との交点をとする．
(1) 三角形と三角形は合同な三角形であることを示せ．
(2) 三角形の面積と五角形の面積はどちらが大きいか検討せよ．
(3) 星形の面積と，正五角形からその星形を除いた残りの部分の面積は，どちらが大きいか検討せよ．
方針
正五角形の対角線と辺の比を とおき、ペンタグラム内に現れる相似な正五角形と二等辺三角形の面積比で比較する。合同は正五角形の回転対称性と、対角線が黄金比で分割されることから辺の対応を確認して示す。面積比較では、全体の正五角形の面積を として、中央の正五角形 、三角形 、星形部分の面積をそれぞれ の比で表す。
解答
正五角形の一辺を とし、対角線と一辺の比を とおく。このとき である。
(1)
正五角形の対称性により、対角線どうしで切り取られる小さな三角形は回転で互いに対応する。また、対角線は交点によって黄金比に分割されるので である。さらに であるから、三角形 の三辺は であり、三角形 の三辺は である。したがって三辺がそれぞれ等しいので である。
(2)
正五角形 の面積を とする。内側の五角形 も正五角形であり、その一辺はもとの正五角形の一辺の 倍である。したがって面積比は長さの比の2乗だから である。
一方、三角形 については、、、 である。正五角形の面積は、中心から5つの合同な三角形に分けて と書ける。よって
である。 を用いて整理すると
である。したがって であり、五角形 の面積の方が大きい。
(3)
星形 は、中央の正五角形 と、5つの合同な先端の三角形からなる。先端の1つ は を満たすので、上と同様に である。星形の面積を とすると
である。ここで だから である。したがって、星形の面積は正五角形全体の半分より小さい。よって、正五角形 から星形を除いた残りの部分の面積の方が大きい。