九州大学 2000年度文系数学第3問(b) 解答・解説

問題

下記の各命題についてその真偽を記し，理由を述べよ．

(1) $7$ は無理数である．

(2) 和も積も共に0でない有理数であるような2つの実数 $a$ ， $b$ は，共に有理数である．

(3) 無理数は何乗かすると有理数になる．ただし，ここで何乗かするというのは， $n$ を1以上のある整数として $n$ 乗することである．

(4) 和も積も共に有理数であるような2つの実数 $a$ ， $b$ に対して， $a^{5} + b^{5}$ は有理数である．

出典：九州大学 2000年度前期日程第2次学力試験文系第3問(b)

方針

各命題を真偽で分ける。真の命題は標準的な証明を与え、偽の命題は具体的な反例を示す。(1)は素因数7の偶奇で無理数性を示す。(2)は和と積が有理でも個々が無理になる共役型の例を出す。(3)は何乗しても無理数の例として $1 + 2$ を使い、 $A + B 2$ の形が保たれ、 $B \neq = 0$ であることを示す。(4)は和 $s = a + b$ 、積 $p = ab$ からべき和の漸化式を作る。

解答

(1)

真である。背理法で示す。もし $7$ が有理数なら、互いに素な整数 $p, q$ を用いて $7 = \frac{p}{q}$ と書ける。両辺を2乗して $p^{2} = 7 q^{2}$ である。よって $p^{2}$ は7で割り切れるので、 $p$ も7で割り切れる。 $p = 7 p_{1}$ とおくと $49 p_{1}^{2} = 7 q^{2}$ より $q^{2} = 7 p_{1}^{2}$ となる。したがって $q$ も7で割り切れる。これは $p, q$ が互いに素であることに反する。よって $7$ は無理数である。

(2)

偽である。反例を挙げればよい。 $a = 1 + 2, b = 1 - 2$ とする。このとき $a, b$ はともに無理数であるが、 $a + b = 2, ab = 1 - 2 = - 1$ であり、和も積も0でない有理数である。したがって命題は偽である。

(3)

偽である。 $α = 1 + 2$ を考える。 $α$ は無理数である。任意の自然数 $n$ について、 $α^{n}$ は $α^{n} = A_{n} + B_{n} 2$ の形に書け、しかも $A_{n}, B_{n}$ は正の整数であることを示す。 $n = 1$ では $A_{1} = 1$ 、 $B_{1} = 1$ で成り立つ。 $α^{n} = A_{n} + B_{n} 2$ と書けるなら $α^{n + 1} = (A_{n} + B_{n} 2) (1 + 2) = (A_{n} + 2 B_{n}) + (A_{n} + B_{n}) 2$ であり、係数はやはり正の整数である。よって帰納的に成り立つ。

特にすべての $n$ で $B_{n} > 0$ なので、 $α^{n}$ は有理数ではない。したがって「無理数は何乗かすると有理数になる」という命題は偽である。

(4)

真である。 $s = a + b$ 、 $p = ab$ とおく。仮定より $s, p$ は有理数である。べき和 $u_{n} = a^{n} + b^{n}$ を考える。 $a, b$ は2次方程式 $t^{2} - s t + p = 0$ の解であるから $a^{2} = s a - p, b^{2} = s b - p$ である。これに $a^{n - 2}$ 、 $b^{n - 2}$ をそれぞれ掛けて足すと、 $n ≧ 2$ で $u_{n} = s u_{n - 1} - p u_{n - 2}$ を得る。

初期値は $u_{0} = 2, u_{1} = s$ で、どちらも有理数である。漸化式の係数 $s, p$ も有理数なので、帰納的にすべての $u_{n}$ は有理数である。特に $a^{5} + b^{5} = u_{5}$ は有理数である。

九州大学 2000年度文系数学 第3問(b)

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2000年度
文系数学第3問(b)