問題
実数，，を係数とする関数をここでは高々2次の関数とよぶことにする．また，，，は異なる3つの実数とする．
(1) ，，を満たす高々2次の関数を求めよ．
(2) 高々2次の関数，が
を満たすならばとは同じ関数であることを示せ．
(3) とすると，
であることを示せ．
出典：九州大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
(1)は で0になり で1になる2次以下の関数を、 の定数倍として作る。(2)は差 が3つの異なる実数で0になる高々2次関数であることから零関数と示す。(3)は右辺に を掛けたものが高々2次関数であることに注目し、 における値がすべて1になることを確認して(2)を適用する。
解答
(1)
、 であり、 である。したがって求める高々2次の関数は と書ける。ただし は定数である。さらに より である。 は互いに異なるので であり、 である。よって である。
(2)
とおく。 は高々2次の関数なので、 も高々2次の関数である。また仮定より である。
もし が零関数でないなら、高々2次の多項式が異なる3つの根 をもつことになり、これは不可能である。したがって は零関数である。よって であり、2つは同じ関数である。
(3)
右辺に を掛けた関数を
とおく。 であるから、各項で1つの因子が消え、 は高々2次の関数である。
ここで である。したがって を代入すると、 では第1項だけが残り、 となる。同様に である。
定数関数 も高々2次の関数であり、 で と同じ値をとる。よって(2)より である。両辺を で割れば
を得る。
別解。(3)は部分分数分解の係数を直接決めてもよい。 とおく。両辺に を掛けると である。ここで を代入すると だから である。同様に となり、求める等式が得られる。