問題
表のでる確率がの公平な（歪みのない）コインが枚，表のでる確率がの歪んだコインが1枚ある．公平なコインはそれぞれを2回投げ，2回共に表がでた場合にそのコインを用意した箱に入れる．また，歪んだコインは回投げて回すべてが表であったらその箱に入れる．全部のコインについてこれを行ったとき，箱に入っているコインの枚数をとする．
(1) のとき，との期待値を求めよ．
(2) となる最小のを求めよ．
(3) の期待値と分散をを用いて表せ．
方針
箱に入るかどうかを各コインごとの独立な事象として扱う。公平なコイン1枚が箱に入る確率は 、歪んだコインが入る確率は である。 は余事象「どのコインも入らない」で求める。期待値と分散は、独立なベルヌーイ型確率変数の和として計算する。
解答
公平なコインのうち、 番目のものが箱に入るとき1、入らないとき0をとる確率変数を とする。また、歪んだコインについて同様の確率変数を とする。このとき である。公平なコイン1枚が箱に入る確率は であり、歪んだコインが箱に入る確率は である。
(1)
のとき、公平なコインは2枚であり、歪んだコインが箱に入る確率は である。どのコインも箱に入らない確率は
である。したがって である。
期待値は和の期待値で計算できるので である。
(2)
一般の について、どの公平なコインも入らない確率は である。また、歪んだコインが入らない確率は である。よって
である。 とおくと、求める条件は すなわち である。これは と同値である。 では だから、厳密に不等式を満たすには が必要十分である。すなわち である。
なので、最小の は である。
(3)
期待値は である。
分散については、独立な確率変数の和なので分散の和をとればよい。公平なコイン1枚に対応する の分散は である。歪んだコインに対応する の分散は である。したがって
である。