問題
大きさ1の空間ベクトル，，が
をみたすように与えられているとする．また空間ベクトル，，が
をみたすとき，点，，および原点について次の問に答えよ．
(1) となるような実数，，を求めよ．同様にを，，で表せ．
(2) ベクトル，，の大きさを求めよ．
(3) 三角形の面積を求めよ．
(4) 四面体の体積を求めよ．
出典：九州大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問(c)
方針
は， との内積が指定された双対的なベクトルである。(1) は とおき，両辺に を内積して連立一次方程式を解く。 も同様に求める。(2)(3) は得られた表示と内積条件から辺の長さと面積を出す。(4) は が の両方に垂直であることを利用し， から平面 までの高さを として体積を求める。
解答
(1)
とおく。両辺に をそれぞれ内積すると，条件より
を得る。第三式より であり，これを第二式に代入すると すなわち 第一式に代入して より である。したがって であり， である。
同様に とおく。 の内積条件から
である。第一式より ，第三式より 。これらを第二式に代入すると より なので である。したがって であり， である。
(2)
まず の大きさを求める。 なので
同様に， は と の係数が入れ替わった形で，条件も対称なので また であり， だから よって
である。
(3)
三角形 の二辺は である。まず より なので したがって面積は
(4)
条件より である。したがって は， と が張る平面，すなわち平面 に垂直である。しかも であるから， は平面 の単位法線ベクトルである。
点 の位置ベクトルは であり， である。したがって点 から平面 までの高さは である。よって四面体 の体積は