九州大学 1999年度理系数学第5問(b) 解答・解説

問題

$k$ を実数として，2次方程式 $x^{2} + 2 k x + 3 k = 0$ の2つの解を $α$ ， $β$ $(α \neq = β)$ とする． $i$ を虚数単位として次の問に答えよ．

(1) $∣ α - i ∣^{2} + ∣ β - i ∣^{2}$ の値を $k$ を用いて表せ．

(2) 複素数平面において，複素数 $α$ ， $β$ ， $i$ を表す点をそれぞれ $A$ ， $B$ ， $P$ とする． $∠ A P B$ が直角になるような $k$ の値を求めよ．

出典：九州大学 1999年度前期日程第2次学力試験理系第5問(b)

方針

判別式 $4 k (k - 3)$ によって，二つの解が実数の場合と共役な虚数の場合に分ける。 $k = 0, 3$ は重解で $α \neq = β$ に反するので除外する。(1) は実数解なら解と係数の関係で $α^{2} + β^{2}$ を出し，虚数解なら $α = u + v i, β = u - v i$ として距離の和を計算する。(2) は $∠ A P B = 9 0^{\circ}$ を三平方の定理 $P A^{2} + P B^{2} = A B^{2}$ に直し，(1) の結果と $∣ β - α ∣^{2}$ を比較する。

解答

(1)

二次方程式 $x^{2} + 2 k x + 3 k = 0$ の判別式は $D = (2 k)^{2} - 4 \cdot 3 k = 4 k (k - 3)$ である。 $α \neq = β$ であるから $k = 0, 3$ は除かれる。

解と係数の関係より $α + β = - 2 k, α β = 3 k$ である。

まず $k < 0$ または $k > 3$ のとき， $α, β$ は相異なる実数である。このとき $∣ α - i ∣^{2} = α^{2} + 1, ∣ β - i ∣^{2} = β^{2} + 1$ なので

∣ α - i ∣^{2} + ∣ β - i ∣^{2} = α^{2} + β^{2} + 2 = (α + β)^{2} - 2 α β + 2 = 4 k^{2} - 6 k + 2.

次に $0 < k < 3$ のとき， $α, β$ は共役な虚数である。 $α = u + v i$ ， $β = u - v i$ とおくと $u^{2} + v^{2} = α β = 3 k .$ したがって

∣ α - i ∣^{2} + ∣ β - i ∣^{2} = {u^{2} + (v - 1)^{2}} + {u^{2} + (- v - 1)^{2}} = 2 u^{2} + 2 v^{2} + 2 = 2 α β + 2 = 6 k + 2.

よって

∣ α - i ∣^{2} + ∣ β - i ∣^{2} = {4 k^{2} - 6 k + 2 6 k + 2 (k < 0 または k > 3), (0 < k < 3)

である。

(2)

複素数平面上の点を $A (α), B (β), P (i)$ とする。 $∠ A P B = 9 0^{\circ}$ であることは，三平方の定理より $∣ α - i ∣^{2} + ∣ β - i ∣^{2} = ∣ β - α ∣^{2}$ と同値である。

実数解の場合，すなわち $k < 0$ または $k > 3$ のときは

∣ β - α ∣^{2} = (β - α)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β = 4 k^{2} - 12 k .

よって $4 k^{2} - 6 k + 2 = 4 k^{2} - 12 k$ となり， $6 k + 2 = 0$ より $k = - \frac{1}{3} .$ これは $k < 0$ を満たすので適する。

虚数解の場合，すなわち $0 < k < 3$ のときは， $α = u + v i, β = u - v i$ とおくと $∣ β - α ∣^{2} = ∣ - 2 v i ∣^{2} = 4 v^{2} .$ また $u = - k$ ， $u^{2} + v^{2} = 3 k$ だから $v^{2} = 3 k - k^{2} .$ したがって $∣ β - α ∣^{2} = 12 k - 4 k^{2} .$ よって $6 k + 2 = 12 k - 4 k^{2}$ すなわち $2 k^{2} - 3 k + 1 = 0$ である。これを解くと $(k - 1) (2 k - 1) = 0$ より $k = 1, \frac{1}{2} .$ どちらも $0 < k < 3$ を満たす。

以上より $k = - \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1$ である。

九州大学 1999年度理系数学 第5問(b)

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1999年度
理系数学第5問(b)