問題
，の2名で次のゲームを行う．，はそれぞれ表に1からまでの数字がひとつずつ書かれた枚のカードを持っている（裏には何も書かれていない）．は自分のすべてのカードを表を下にしてならべる．は，がならべたそれぞれのカードの前に自分のカードを表を上にして1枚ずつならべる．次にのカードを表向きにし，は数字が一致したカードの枚数だけ得点を得る．確率変数をが1回のゲームで得る点数とするとき次の問に答えよ．
(1) のとき確率を求めよ．
(2) のカードのうち数字が1のものが一致する確率をとする．
と表すとき， を求めよ．
(3) 期待値を求めよ．
方針
このゲームは， の裏向きの並べ方を固定し， の並べ方を から の置換として見るとよい。(1) は でちょうど二つ固定点をもつ置換を数え，残り三つが完全にずれる場合を数える。(2) は とわかったとき，一致した 枚の中に数字 が入る条件付き確率を対称性で求める。(3) は (2) の式に数字 が一致する確率 を代入する。別解として，各数字が一致するかを表す変数を足し上げても期待値はすぐに出る。
解答
(1)
の並べ方を固定して考えると， の並べ方は 通りで等確率である。ちょうど 枚一致するには，まず一致する数字を 個の中から 個選ぶ。これは 通りである。
残り 個の数字は，一つも元の位置に来てはいけない。 個の完全順列は
通りである。したがって
(2)
であるとき，一致している数字の集合は，対称性により 個の数字の中の 個の集合として等しく現れる。したがって，その中に数字 が含まれる確率は である。
数字 のカードが一致する確率を とすると，全確率の考え方により
よって である。
(3)
数字 のカードが一致する確率は， の数字 が 個の位置のどこに来るかが等確率なので である。一方，(2) より 両辺に を掛けると したがって である。
別解。各数字 について，数字 が一致したら ，一致しなければ をとる確率変数を とする。このとき である。各 について なので したがって と求められる。