九州大学 1999年度理系数学第3問解答・解説

問題

(1) 実数 $k ≧ 0$ に対し，

\int_{0}^{2 π} {y (x cos θ + \frac{1}{2} x^{2}) - (x cos θ + \frac{1}{2} x^{2})^{2}} cos θ d θ = 2 k π

をみたす $x y$ 平面内の曲線の方程式を求めよ．

(2) (1)で求めた曲線と直線 $y = a$ との共有点が1個であるような実数 $a$ の範囲を求めよ．

出典：九州大学 1999年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

(1) は積分の中身を展開し， $0$ から $2 π$ までの $cos θ$ ， $cos^{2} θ$ ， $cos^{3} θ$ の積分値を使って曲線の方程式に直す。(2) は $k = 0$ と $k > 0$ で曲線の形が変わる。 $k > 0$ では $y = x^{2} + 2 k / x$ として， $x < 0$ の枝がどの高さにも一回交わることを先に確認し， $x > 0$ の枝が交点を増やすかどうかを極小値で判定する。

解答

(1)

与えられた積分を $I$ とおく。積分の中の式を展開するために $A = x cos θ + \frac{1}{2} x^{2}$ とおくと，被積分関数は $(y A - A^{2}) cos θ$ である。展開すると

(y A - A^{2}) cos θ = y (x cos θ + \frac{1}{2} x^{2}) cos θ - (x^{2} cos^{2} θ + x^{3} cos θ + \frac{1}{4} x^{4}) cos θ = x y cos^{2} θ + \frac{1}{2} x^{2} y cos θ - x^{2} cos^{3} θ - x^{3} cos^{2} θ - \frac{1}{4} x^{4} cos θ .

ここで

\int_{0}^{2 π} cos θ d θ = 0, \int_{0}^{2 π} cos^{3} θ d θ = 0, \int_{0}^{2 π} cos^{2} θ d θ = π

であるから $I = x y π - x^{3} π = x (y - x^{2}) π .$ これが $2 k π$ に等しいので，求める曲線は $x (y - x^{2}) = 2 k$ である。

(2)

まず $k = 0$ のとき，曲線は $x (y - x^{2}) = 0$ すなわち $x = 0 または y = x^{2}$ である。直線 $y = a$ との共有点を考えると， $a < 0$ では直線 $x = 0$ とだけ交わり， $a = 0$ では $(0, 0)$ だけを共有する。 $a > 0$ では $x = 0$ 上の点に加えて放物線 $y = x^{2}$ と二点で交わる。したがって $k = 0$ では共有点が一個である条件は $a ≦ 0$ である。

次に $k > 0$ とする。このとき $x \neq = 0$ であり，曲線は $y = x^{2} + \frac{2 k}{x}$ と書ける。右辺を $φ (x)$ とおくと $φ^{'} (x) = 2 x - \frac{2 k}{x ^{2}} = \frac{2 ( x ^{3} - k )}{x ^{2}} .$ $x < 0$ では $x^{3} - k < 0$ なので $φ^{'} (x) < 0$ である。また

φ (x) \to \infty (x \to - \infty), φ (x) \to - \infty (x \to 0 -)

である。したがって左側の枝は任意の水平線 $y = a$ とちょうど一回交わる。 $x > 0$ では $x = 3 k$ で $φ^{'} (x) = 0$ となり，その前後で減少から増加に変わる。したがって右側の枝は $x = 3 k$ で極小値をとる。その値は $φ (3 k) = 3 k^{2} + 2 3 k^{2} = 3 3 k^{2} .$ よって右側の枝との交点数は， $a < 3 3 k^{2}$ なら $0$ 個，等号なら接して $1$ 個，それより大きければ $2$ 個である。

左側の枝で常に一個共有点があるので，全体の共有点が一個になるのは右側の枝と交わらないときである。したがって $k > 0$ では $a < 3 3 k^{2}$ である。

以上より

{k = 0 のとき a ≦ 0, k > 0 のとき a < 3 3 k^{2}

となる。

九州大学 1999年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1999年度
理系数学第3問